Mostre que arctg x+arccotg x=pi2.
(Sugestão: Mostre que a função f(x)=arctg x+arccotg x é constante e, então, calcule f(1)).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x em R,
arctgx+arccotgx=pi2
A sugestão é definir
f(x)=arctgx+arccotgx,
mostrar que f é constante (calculando f'(x)), e então determinar esse valor constante calculando f(1).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Sabemos que
ddxl(arctgxr)=11+x^2, ddxl(arccotgxr)=-11+x^2
Logo,
f'(x) =ddxl(arctgxr) +ddxl(arccotgxr) =11+x^2-11+x^2=0

Passo 3

Como f'(x)=0 para todo x, concluímos que f é constante em R.

Passo 4

Basta agora calcular esse valor constante em um ponto conveniente. Para x=1,
f(1)=arctg1+arccotg1 =pi4+pi4=pi2
Portanto, para todo x, f(x)=pi2.

Resposta

arctgx+arccotgx=pi2

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