Mostre que a área de um triângulo pode ser calculada como o produto do seu semiperímetro pelo raio de sua circunferência inscrita.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a área de um triângulo pode ser calculada como o produto do seu semiperímetro pelo raio da circunferência inscrita.
Informações que vamos usar (nomes e notação que eu escolho para ser claro):
  • Considere um triângulo qualquer cujos lados têm comprimentos \,a\,,\,b\,,\,c\,.
  • Denote por \,r\, o raio da circunferência inscrita nesse triângulo (o inradius).
  • Denote por \,s\, o semiperímetro do triângulo, isto é \;s=\dfrac{a+b+c}{2}.
    O objetivo explícito: provar que a área A do triângulo satisfaz \;A = r\,s.

Passo 2

Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas devagar):
  • A circunferência inscrita é a circunferência que toca os três lados do triângulo. O centro dessa circunferência chama-se incentro.
  • A distância do incentro a cada um dos lados é igual ao raio \,r da circunferência inscrita. Isso significa que a perpendicular do incentro a qualquer lado tem comprimento \,r.
  • Fórmula elemental para a área de um triângulo: se um triângulo tem base de comprimento \,b e altura (distância perpendicular da base ao vértice oposto) igual a \,h, então a sua área é \;A=\dfrac{1}{2} b h. Vou usar essa fórmula aplicando cada lado como base e usando \,r como altura relativa ao incentro.

Passo 3

Construção útil para a prova (visualize ou desenhe): ligue o incentro aos três vértices do triângulo. Isso divide o triângulo original em três triângulos menores, cada um com um dos lados originais como base e com altura igual a \,r (porque a perpendicular do incentro a cada lado tem comprimento \,r).
Assim:
  • O triângulo que tem como base o lado de comprimento \,a tem área \;\dfrac{1}{2} a r.
  • O triângulo que tem como base o lado de comprimento \,b tem área \;\dfrac{1}{2} b r.
  • O triângulo que tem como base o lado de comprimento \,c tem área \;\dfrac{1}{2} c r.

Passo 4

Somando as áreas dos três triângulos menores obtemos a área total A do triângulo original:
A \;=\; \dfrac{1}{2} a r \;+\; \dfrac{1}{2} b r \;+\; \dfrac{1}{2} c r.
Fatorando \dfrac{1}{2} r nessa soma:
A \;=\; \dfrac{1}{2} r (a+b+c).

Passo 5

Agora use a definição do semiperímetro \;s=\dfrac{a+b+c}{2}. Substituindo em \;A=\dfrac{1}{2} r (a+b+c) obtemos:
A \;=\; r \; \left(\dfrac{a+b+c}{2}\right) \;=\; r\,s.
Portanto demonstramos a identidade desejada. Uma consequência prática: \;r=\dfrac{A}{s}, ou seja, dado A e s obtém-se o raio inscrito.

Resposta

\;A = r\,s

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