Mostre que a área de um triângulo pode ser calculada como o produto do seu semiperímetro pelo raio de sua circunferência inscrita.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a área de um triângulo pode ser calculada como o produto do seu semiperímetro pelo raio da circunferência inscrita.
Informações que vamos usar (nomes e notação que eu escolho para ser claro):
Informações que vamos usar (nomes e notação que eu escolho para ser claro):
- Considere um triângulo qualquer cujos lados têm comprimentos
. - Denote por
o raio da circunferência inscrita nesse triângulo (o inradius). - Denote por
o semiperímetro do triângulo, isto é .
O objetivo explícito: provar que a áreado triângulo satisfaz .
Passo 2
Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas devagar):
- A circunferência inscrita é a circunferência que toca os três lados do triângulo. O centro dessa circunferência chama-se incentro.
- A distância do incentro a cada um dos lados é igual ao raio
da circunferência inscrita. Isso significa que a perpendicular do incentro a qualquer lado tem comprimento . - Fórmula elemental para a área de um triângulo: se um triângulo tem base de comprimento
e altura (distância perpendicular da base ao vértice oposto) igual a , então a sua área é . Vou usar essa fórmula aplicando cada lado como base e usando como altura relativa ao incentro.
Passo 3
Construção útil para a prova (visualize ou desenhe): ligue o incentro aos três vértices do triângulo. Isso divide o triângulo original em três triângulos menores, cada um com um dos lados originais como base e com altura igual a
(porque a perpendicular do incentro a cada lado tem comprimento
).
Assim:
Assim:
- O triângulo que tem como base o lado de comprimento
tem área . - O triângulo que tem como base o lado de comprimento
tem área . - O triângulo que tem como base o lado de comprimento
tem área .
Passo 4
Somando as áreas dos três triângulos menores obtemos a área total
do triângulo original:
Fatorando
nessa soma:
Passo 5
Agora use a definição do semiperímetro
. Substituindo em
obtemos:
Portanto demonstramos a identidade desejada. Uma consequência prática:
, ou seja, dado
e
obtém-se o raio inscrito.