Seja
o ponto do lado
do triângulo
tal que
e
o ponto do lado
tal que
é perpendicular a
. Sabendo que
e que o baricentro
do triângulo
pertence ao segmento
, determine o comprimento do segmento
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Triângulo
com . - O ponto
está em tal que . - O ponto
está em e é perpendicular a (ou seja, é a projeção orthogonal de sobre ). - O baricentro
do triângulo pertence ao segmento .
- Triângulo
-
O que se pede:
- Determinar o comprimento do segmento
.
- Determinar o comprimento do segmento
Passo 2
Escolha de coordenadas (facilita os cálculos): colocar
na origem e
sobre o eixo
.
- Tomar
e (assim fica explícito). - Como
e , segue que Logo . - Escrever
, com (se então seriam colineares e não formariam um triângulo).
Explicação rápida: escolher coordenadas é legítimo porque distâncias e a condição sobre o baricentro são preservadas por translações/rotação; isto simplifica a álgebra.
Passo 3
Determinar as coordenadas de
(projeção de
sobre a reta
) usando produto escalar.
- Vetores:
e . - Fórmula da projeção do vetor
sobre : a projeção vetorial é onde o produto escalar é . - Aplicando aqui, como
é a origem, a coordenada de (ponto na reta ) é Portanto
Passo 4
Coordenadas do baricentro
.
- O baricentro de um triângulo tem coordenadas médias dos vértices:
- Substituindo
, , , obtemos
Passo 5
Usar a condição de que
pertence ao segmento
— isto dá uma relação de colinearidade.
- Se
está no segmento , existem com tal que - Calcular os vetores
e .
Simplificando
:
assim
Passo 6
Escrever as equações pelas componentes e resolver para obter relação entre
e
.
- Da igualdade
obtemos pelas componentes: - Da segunda equação, como
, podemos cancelar e obter - Substituindo
na primeira equação: Multiplicando por : Multiplicando por : - Reescrevendo:
Observação: esta última linha mostra que a distância de até o ponto satisfaz , ou seja .
Passo 7
Calcular
a partir das coordenadas.
- Vetor
tem coordenadas O comprimento é - Usando o resultado do passo anterior
, obtemos
Passo 8
Interpretação final: o comprimento de
é independente das coordenadas particulares de
desde que a condição
seja satisfeita; a relação geométrica forçou a distância de
ao ponto
a ser
, e daí
.