Seja N o ponto do lado A C do triângulo A B C tal que A N=2 N C e M o ponto do lado A B tal que M N é perpendicular a A B. Sabendo que A C=12 e que o baricentro G do triângulo A B C pertence ao segmento M N, determine o comprimento do segmento B G.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Triângulo A B C com A C=12.
    • O ponto N está em A C tal que A N=2 N C.
    • O ponto M está em A B e M N é perpendicular a A B (ou seja, M é a projeção orthogonal de N sobre A B).
    • O baricentro G do triângulo A B C pertence ao segmento M N.
  • O que se pede:
    • Determinar o comprimento do segmento B G.

Passo 2

Escolha de coordenadas (facilita os cálculos): colocar A na origem e A C sobre o eixo x.
  • Tomar A=(0,0) e C=(12,0) (assim A C=12 fica explícito).
  • Como A N=2 N C e A C=12, segue que A N=\frac{2}{3}\cdot A C=\frac{2}{3}\cdot 12=8, \qquad N C=4.Logo N=(8,0).
  • Escrever B=(u,v), com v\neq 0 (se v=0 então A,B,C seriam colineares e não formariam um triângulo).
Explicação rápida: escolher coordenadas é legítimo porque distâncias e a condição sobre o baricentro são preservadas por translações/rotação; isto simplifica a álgebra.

Passo 3

Determinar as coordenadas de M (projeção de N sobre a reta A B) usando produto escalar.
  • Vetores: \vec{AB}=\bigl(u,v\bigr) e \vec{AN}=\bigl(8,0\bigr).
  • Fórmula da projeção do vetor \vec{n} sobre \vec{b}: a projeção vetorial é \operatorname{proj}_{\vec b}\vec n=\frac{\vec n\cdot\vec b}{\vec b\cdot\vec b}\,\vec b,onde o produto escalar é \vec x\cdot\vec y = x_1y_1+x_2y_2.
  • Aplicando aqui, como A é a origem, a coordenada de M (ponto na reta AB) é M=\frac{\vec{AN}\cdot\vec{AB}}{\vec{AB}\cdot\vec{AB}}\,\vec{AB} =\frac{8u}{u^{2}+v^{2}}\,(u,v).Portanto M=\left(\frac{8u^{2}}{u^{2}+v^{2}},\\ \frac{8uv}{u^{2}+v^{2}}\right).

Passo 4

Coordenadas do baricentro G.
  • O baricentro de um triângulo tem coordenadas médias dos vértices: G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).
  • Substituindo A=(0,0), B=(u,v), C=(12,0), obtemos G=\left(\frac{u+12}{3},\\ \frac{v}{3}\right).

Passo 5

Usar a condição de que G pertence ao segmento M N — isto dá uma relação de colinearidade.
  • Se G está no segmento M N, existem \lambda com 0<\lambda<1 tal que \vec{NG}=\lambda\,\vec{NM}.
  • Calcular os vetores \vec{NG} e \vec{NM}. \vec{NG}=G-N=\left(\frac{u+12}{3}-8,\\ \frac{v}{3}-0\right) =\left(\frac{u-12}{3},\\ \frac{v}{3}\right).
\vec{NM}=M-N=\left(\frac{8u^{2}}{u^{2}+v^{2}}-8,\\ \frac{8uv}{u^{2}+v^{2}}-0\right).
Simplificando \vec{NM}:
\frac{8u^{2}}{u^{2}+v^{2}}-8 =8\left(\frac{u^{2}-(u^{2}+v^{2})}{u^{2}+v^{2}}\right) =-\frac{8v^{2}}{u^{2}+v^{2}},
assim
\vec{NM}=\left(-\frac{8v^{2}}{u^{2}+v^{2}},\\ \frac{8uv}{u^{2}+v^{2}}\right).

Passo 6

Escrever as equações pelas componentes e resolver para obter relação entre u e v.
  • Da igualdade \vec{NG}=\lambda\,\vec{NM} obtemos pelas componentes: \frac{u-12}{3}=\lambda\left(-\frac{8v^{2}}{u^{2}+v^{2}}\right), \qquad \frac{v}{3}=\lambda\left(\frac{8uv}{u^{2}+v^{2}}\right).
  • Da segunda equação, como v\neq 0, podemos cancelar v e obter \frac{1}{3}=\lambda\left(\frac{8u}{u^{2}+v^{2}}\right) \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{u^{2}+v^{2}}{24u}.
  • Substituindo \lambda na primeira equação: \frac{u-12}{3}=\frac{u^{2}+v^{2}}{24u}\left(-\frac{8v^{2}}{u^{2}+v^{2}}\right) =-\frac{v^{2}}{3u}.Multiplicando por 3: u-12=-\frac{v^{2}}{u}.Multiplicando por u: u^{2}-12u+v^{2}=0.
  • Reescrevendo: (u-6)^{2}+v^{2}=36.Observação: esta última linha mostra que a distância de B=(u,v) até o ponto (6,0) satisfaz |B-(6,0)|^{2}=36, ou seja |B-(6,0)|=6.

Passo 7

Calcular B G a partir das coordenadas.
  • Vetor \vec{BG}=G-B tem coordenadas \vec{BG}=\left(\frac{u+12}{3}-u,\\ \frac{v}{3}-v\right) =\left(\frac{2u-12}{3},\\\ -\frac{2v}{3}\right).O comprimento B G é B G=\sqrt{\left(\frac{2u-12}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{2v}{3}\right)^{2}} =\frac{2}{3}\sqrt{(u-6)^{2}+v^{2}}.
  • Usando o resultado do passo anterior (u-6)^{2}+v^{2}=36, obtemos B G=\frac{2}{3}\sqrt{36}=\frac{2}{3}\cdot 6=4.

Passo 8

Interpretação final: o comprimento de B G é independente das coordenadas particulares de B desde que a condição G\in M N seja satisfeita; a relação geométrica forçou a distância de B ao ponto (6,0) a ser 6, e daí B G=4.

Resposta

4

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