Mostre que \arg \left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\arg z_{1}-\arg z_{2} :

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois complexos não nulos z_{1} e z_{2}, vale
\arg\!\bigl(\tfrac{z_{1}}{z_{2}}\bigr) = \arg z_{1} - \arg z_{2}.
O conteúdo principal aqui é a forma polar de números complexos e a propriedade dos argumentos ao multiplicar ou dividir expoentes imaginários.

Passo 2

Escrevemos cada número na forma polar. Seja
z_{1}=r_{1}e^{\,i\theta_{1}}, \quad z_{2}=r_{2}e^{\,i\theta_{2}},
onde r_{1}=|z_{1}|>0, r_{2}=|z_{2}|>0 e \theta_{1}=\arg z_{1}, \theta_{2}=\arg z_{2} (cada argumento tomado num ramo qualquer, usualmente o principal).

Passo 3

Calculamos o quociente na forma exponencial:
\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}e^{\,i\theta_{1}}}{r_{2}e^{\,i\theta_{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \;e^{\,i(\theta_{1}-\theta_{2})}.

Passo 4

Pela definição de argumento, o argumento de um número complexo na forma \rho\,e^{\,i\varphi}
é \varphi (módulo 2\pi). Portanto,
\arg\!\bigl(\tfrac{z_{1}}{z_{2}}\bigr) = \theta_{1}-\theta_{2} = \arg z_{1} - \arg z_{2} \quad(\bmod\,2\pi).

Resposta

\boxed{ \arg\!\bigl(\tfrac{z_{1}}{z_{2}}\bigr) = \arg z_{1} - \arg z_{2} \quad(\bmod\,2\pi). }

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