Mostre que para uma atmosfera em que a densidade independe da altura, há uma altura finita que depende apenas da temperatura na fronteira inferior. Estime essa
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se numa atmosfera a densidade
não varia com a altura
, então existe uma altura máxima
onde a pressão cai a zero, e que
depende apenas da temperatura na base
. Para isso vamos usar:
- A equação de equilíbrio hidrostático
- A equação de estado do gás ideal
Passo 2
O equilíbrio hidrostático diz que a variação da pressão
com a altura satisfaz
onde
é a aceleração da gravidade (constante) e
é constante por hipótese. Integrando de
(pressão
) até uma altura
:
Passo 3
Definimos a altura máxima
como aquela em que a pressão anula,
. Assim
Passo 4
Para relacionar
e
à temperatura da base
, usamos o gás ideal na forma
sendo
a constante universal dos gases e
o peso molecular médio. Substituindo em
:
Logo,
depende somente de
, de
, de
e de
.
Passo 5
Estimando para a Terra:
,
,
,
.