Mostre que para uma atmosfera em que a densidade independe da altura, há uma altura finita que depende apenas da temperatura na fronteira inferior. Estime essa

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se numa atmosfera a densidade \rho não varia com a altura z, então existe uma altura máxima H onde a pressão cai a zero, e que H depende apenas da temperatura na base T_0. Para isso vamos usar:
  1. A equação de equilíbrio hidrostático
  2. A equação de estado do gás ideal

Passo 2

O equilíbrio hidrostático diz que a variação da pressão p com a altura satisfaz
\frac{dp}{dz} = -\,\rho\,g,
onde g é a aceleração da gravidade (constante) e \rho é constante por hipótese. Integrando de z=0 (pressão p_0) até uma altura z:
p(z) = p_0 - \rho\,g\,z.

Passo 3

Definimos a altura máxima H como aquela em que a pressão anula, p(H)=0. Assim
0 = p_0 - \rho\,g\,H \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{p_0}{\rho\,g}.

Passo 4

Para relacionar p_0 e \rho à temperatura da base T_0, usamos o gás ideal na forma
p_0 = \frac{\rho\,R\,T_0}{M},
sendo R a constante universal dos gases e M o peso molecular médio. Substituindo em H:
H = \frac{1}{\rho\,g}\,\frac{\rho\,R\,T_0}{M} = \frac{R\,T_0}{M\,g}.
Logo, H depende somente de T_0, de M, de R e de g.

Passo 5

Estimando para a Terra: R=8{,}314\:\mathrm{J/(mol\cdot K)}, T_0\approx288\:\mathrm{K}, M\approx0{,}029\:\mathrm{kg/mol}, g\approx9{,}81\:\mathrm{m/s^2}.
H \approx \frac{8{,}314\times288}{0{,}029\times9{,}81} \approx8{,}5\times10^3\:\mathrm{m}.

Resposta

H = \frac{R\,T_0}{M\,g} \approx8{,}5\times10^3\:\mathrm{m}.

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