Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton emitido na transição de n+1 \rightarrow n-1, chamada E_{1}, pode ser escrita em função da energia E_{2} da transição n \rightarrow n-1 como:
E_{1}=E_{2}\left[\frac{2 n}{2 n-1}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma relação entre duas energias de fótons emitidos em transições entre níveis de um átomo na teoria de Bohr. As informações dadas são:
  • E_{1} é a energia do fóton emitido na transição n+1 \rightarrow n-1.
  • E_{2} é a energia do fóton emitido na transição n \rightarrow n-1.
  • O objetivo declarado é provar que
E_{1}=E_{2}\left[\frac{2 n}{2 n-1}\right].
Nada mais foi fornecido pelo enunciado; a resolução exigirá usar a expressão das energias dos níveis na teoria de Bohr e a definição de energia do fóton como diferença entre níveis.

Passo 2

Relembrando (passo-a-passo) a fórmula útil da teoria de Bohr para as energias dos níveis estacionários:
  • Na aproximação de Bohr para um átomo hidrogenoide, o nível com número quântico n tem energia
E_{n}=-\dfrac{R}{n^{2}},
onde R é uma constante positiva (para o hidrogênio R=13{,}6\\ \text{eV}, mas aqui usaremos apenas o símbolo R).
Explicação/porquê: essa fórmula vem das condições de quantização de momento angular de Bohr e da energia total (cinética+potencial) do elétron ligado; o sinal negativo indica que o elétron está ligado. Não é preciso saber a dedução completa para usar a fórmula: basta lembrar que energia escala como -1/n^{2}.
Além disso, a energia do fóton emitido numa transição entre um nível inicial i e final f é dada por
E_{\text{fóton}}=E_{i}-E_{f},ó
onde E_{i} e E_{f} são as energias dos níveis inicial e final respectivamente. Observação: aqui tomamos E_{i}>E_{f} (menos negativa para mais negativa), de modo que E_{\text{fóton}}>0ó.

Passo 3

Calcular E_{1} explicitamente usando as fórmulas acima. Para a transição n+1\rightarrow n-1 temos
E_{1}=E_{n+1}-E_{n-1}.
Substituindo a fórmula de Bohr:
E_{1}=-\dfrac{R}{(n+1)^{2}}-\left(-\dfrac{R}{(n-1)^{2}}\right) = R\!\left(\dfrac{1}{(n-1)^{2}}-\dfrac{1}{(n+1)^{2}}\right).
Agora simplificamos a diferença de frações. Colocando em denominador comum:
\dfrac{1}{(n-1)^{2}}-\dfrac{1}{(n+1)^{2}} = \dfrac{(n+1)^{2}-(n-1)^{2}}{(n-1)^{2}(n+1)^{2}}.
Calcule o numerador:
(n+1)^{2}-(n-1)^{2}=(n^{2}+2n+1)-(n^{2}-2n+1)=4n.
Logo
E_{1}=R\cdot\dfrac{4n}{(n-1)^{2}(n+1)^{2}}.

Passo 4

Calcular E_{2} da mesma forma. Para a transição n\rightarrow n-1 temos
E_{2}=E_{n}-E_{n-1} = -\dfrac{R}{n^{2}}-\left(-\dfrac{R}{(n-1)^{2}}\right) = R\!\left(\dfrac{1}{(n-1)^{2}}-\dfrac{1}{n^{2}}\right).
Colocando em denominador comum e simplificando:
\dfrac{1}{(n-1)^{2}}-\dfrac{1}{n^{2}} = \dfrac{n^{2}-(n-1)^{2}}{(n-1)^{2}n^{2}}.
Calcule o numerador:
n^{2}-(n-1)^{2}=n^{2}-(n^{2}-2n+1)=2n-1.
Portanto
E_{2}=R\cdot\dfrac{2n-1}{(n-1)^{2}n^{2}}.

Passo 5

Agora expressamos E_{1} em função de E_{2}. Uma maneira direta é eliminar R: escrevemos R a partir de E_{2} e substituímos na expressão de E_{1}. Da expressão de E_{2} temos
R=E_{2}\cdot\dfrac{(n-1)^{2}n^{2}}{2n-1}.
Substituindo em E_{1}=R\cdot\dfrac{4n}{(n-1)^{2}(n+1)^{2}} obtemos
E_{1}=E_{2}\cdot\dfrac{(n-1)^{2}n^{2}}{2n-1}\cdot\dfrac{4n}{(n-1)^{2}(n+1)^{2}}.
Agora cancelam-se os fatores (n-1)^{2} e obtemos
E_{1}=E_{2}\cdot\dfrac{4n^{3}}{(2n-1)(n+1)^{2}}.
Esta é a relação correta entre E_{1} e E_{2} derivada diretamente das fórmulas de Bohr.

Passo 6

Comparação com a relação proposta no enunciado. O enunciado dizia querer mostrar
E_{1}=E_{2}\left[\dfrac{2n}{2n-1}\right].
Mas a relação correta que acabamos de obter é
E_{1}=E_{2}\cdot\dfrac{4n^{3}}{(2n-1)(n+1)^{2}}.
Para ver que a proposta do enunciado é diferente, pode-se testar um valor concreto, por exemplo n=2:
  • Pela fórmula correta:
E_{1}/E_{2}=\dfrac{4\cdot 2^{3}}{(2\cdot2-1)(2+1)^{2}}=\dfrac{32}{(3)(9)}=\dfrac{32}{27}\approx1{,}185.
  • Pela fórmula proposta no enunciado:
\dfrac{2n}{2n-1}\Big|_{n=2}=\dfrac{4}{3}\approx1{,}333.
Como os valores não coincidem, a expressão proposta no enunciado não é correta; a expressão correta é a que derivamos acima. Observação física intuitiva: para n grande a relação correta tende para E_{1}\approx 2E_{2}, já que a transição n+1\rightarrow n-1 é aproximadamente a soma de duas transições unitárias próximas.

Resposta

A relação proposta no enunciado não é verdadeira. A relação correta é
E_{1}=E_{2}\,\dfrac{4\,n^{3}}{(2n-1)(n+1)^{2}}.

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