Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton emitido na transição de n+1 \rightarrow n-1, chamada E_{1}, pode ser escrita em função da energia E_{2} da transição n \rightarrow n-1 como:
E_{1}=E_{2}\left[\frac{2 n}{2 n-1}\right]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar uma relação entre duas energias de fótons emitidos em transições entre níveis de um átomo na teoria de Bohr. As informações dadas são:
E_{1} é a energia do fóton emitido na transição n+1 \rightarrow n-1.
E_{2} é a energia do fóton emitido na transição n \rightarrow n-1.
O objetivo declarado é provar que
E_{1}=E_{2}\left[\frac{2 n}{2 n-1}\right].
Nada mais foi fornecido pelo enunciado; a resolução exigirá usar a expressão das energias dos níveis na teoria de Bohr e a definição de energia do fóton como diferença entre níveis.
Passo 2
Relembrando (passo-a-passo) a fórmula útil da teoria de Bohr para as energias dos níveis estacionários:
Na aproximação de Bohr para um átomo hidrogenoide, o nível com número quântico n tem energia
E_{n}=-\dfrac{R}{n^{2}},
onde R é uma constante positiva (para o hidrogênio R=13{,}6\\ \text{eV}, mas aqui usaremos apenas o símbolo R).
Explicação/porquê: essa fórmula vem das condições de quantização de momento angular de Bohr e da energia total (cinética+potencial) do elétron ligado; o sinal negativo indica que o elétron está ligado. Não é preciso saber a dedução completa para usar a fórmula: basta lembrar que energia escala como -1/n^{2}.
Além disso, a energia do fóton emitido numa transição entre um nível inicial i e final f é dada por
E_{\text{fóton}}=E_{i}-E_{f},
onde E_{i} e E_{f} são as energias dos níveis inicial e final respectivamente. Observação: aqui tomamos E_{i}>E_{f} (menos negativa para mais negativa), de modo que E_{\text{fóton}}>0.
Passo 3
Calcular E_{1} explicitamente usando as fórmulas acima. Para a transição n+1\rightarrow n-1 temos
Agora expressamos E_{1} em função de E_{2}. Uma maneira direta é eliminar R: escrevemos R a partir de E_{2} e substituímos na expressão de E_{1}. Da expressão de E_{2} temos
R=E_{2}\cdot\dfrac{(n-1)^{2}n^{2}}{2n-1}.
Substituindo em E_{1}=R\cdot\dfrac{4n}{(n-1)^{2}(n+1)^{2}} obtemos
Como os valores não coincidem, a expressão proposta no enunciado não é correta; a expressão correta é a que derivamos acima. Observação física intuitiva: para n grande a relação correta tende para E_{1}\approx 2E_{2}, já que a transição n+1\rightarrow n-1 é aproximadamente a soma de duas transições unitárias próximas.
Resposta
A relação proposta no enunciado não é verdadeira. A relação correta é