Use a função generatriz:
(em que
são os polinômios de Hermite), para mostrar que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para usar a função geradora dos polinômios de Hermite, que é dada por:
Aqui,
representa os polinômios de Hermite. Nosso objetivo é mostrar que a derivada do polinômio de Hermite de ordem
, denotada por
, satisfaz a relação:
Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função geradora em relação a
e comparar os coeficientes das potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função geradora
em relação a
. Vamos derivar o lado esquerdo da equação:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado direito da função geradora:
A derivada em relação a
é:
Onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, igualamos as duas expressões que obtivemos para
:
Observamos que
é a função geradora original
, então podemos substituir:
Passo 5
Substituindo a expressão da função geradora na equação acima:
Vamos multiplicar
dentro da soma:
Passo 6
Vamos fazer uma mudança de índice na soma à esquerda para igualar as potências de
. Seja
, então
. A soma fica:
Podemos renomear
de volta para
:
Passo 7
Agora, ajustamos a expressão à esquerda para que os fatoriais fiquem compatíveis:
Aqui, multiplicamos e dividimos por
:
Passo 8
Comparando os coeficientes das potências de
nas duas somas, temos:
Isso mostra a relação desejada entre a derivada dos polinômios de Hermite e os próprios polinômios de Hermite de ordem inferior.
Resposta
Portanto, demonstramos que: