Use a função generatriz: g(x, t)=e^-t^2+2 x t=sumn=0^infty H n(x) t^nn! (em que H n(x) são os polinômios de Hermite), para mostrar que: Hn^1(x)=2 n Hn-1(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para usar a função geradora dos polinômios de Hermite, que é dada por:
g(x, t) = e^-t^2 + 2xt = sumn=0^infty Hn(x) t^nn!
Aqui, Hn(x) representa os polinômios de Hermite. Nosso objetivo é mostrar que a derivada do polinômio de Hermite de ordem n, denotada por Hn^(1)(x), satisfaz a relação:
Hn^(1)(x) = 2n Hn-1(x)
Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função geradora em relação a x e comparar os coeficientes das potências de t.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função geradora g(x, t) em relação a x. Vamos derivar o lado esquerdo da equação:
g(x, t) = e^-t^2 + 2xt
A derivada de g(x, t) em relação a x é:
partial gpartial x = partialpartial x e^-t^2 + 2xt = e^-t^2 + 2xt cdot (2t) = 2t e^-t^2 + 2xt

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito da função geradora:
g(x, t) = sumn=0^infty Hn(x) t^nn!
A derivada em relação a x é:
partial gpartial x = sumn=0^infty Hn^(1)(x) t^nn!
Onde Hn^(1)(x) é a derivada de Hn(x) em relação a x.

Passo 4

Agora, igualamos as duas expressões que obtivemos para partial gpartial x:
2t e^-t^2 + 2xt = sumn=0^infty Hn^(1)(x) t^nn!
Observamos que e^-t^2 + 2xt é a função geradora original g(x, t), então podemos substituir:
2t cdot g(x, t) = sumn=0^infty Hn^(1)(x) t^nn!

Passo 5

Substituindo a expressão da função geradora na equação acima:
2t sumn=0^infty Hn(x) t^nn! = sumn=0^infty Hn^(1)(x) t^nn!
Vamos multiplicar 2t dentro da soma:
sumn=0^infty 2 Hn(x) t^n+1n! = sumn=0^infty Hn^(1)(x) t^nn!

Passo 6

Vamos fazer uma mudança de índice na soma à esquerda para igualar as potências de t. Seja m = n + 1, então n = m - 1. A soma fica:
summ=1^infty 2 Hm-1(x) t^m(m-1)! = sumn=0^infty Hn^(1)(x) t^nn!
Podemos renomear m de volta para n:
sumn=1^infty 2 Hn-1(x) t^n(n-1)! = sumn=0^infty Hn^(1)(x) t^nn!

Passo 7

Agora, ajustamos a expressão à esquerda para que os fatoriais fiquem compatíveis:
sumn=1^infty 2 Hn-1(x) t^n(n-1)! = sumn=1^infty 2n Hn-1(x) t^nn!
Aqui, multiplicamos e dividimos por n:
sumn=1^infty 2n Hn-1(x)n! t^n = sumn=1^infty Hn^(1)(x) t^nn!

Passo 8

Comparando os coeficientes das potências de t nas duas somas, temos:
Hn^(1)(x) = 2n Hn-1(x)
Isso mostra a relação desejada entre a derivada dos polinômios de Hermite e os próprios polinômios de Hermite de ordem inferior.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
Hn^(1)(x) = 2n Hn-1(x)

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