Mostre que se
e
, então a integral
converge.
Passo 1
Resumo: Temos a integral imprópria
, com as condições
e
. O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias usando comparações. Vamos dividir o domínio em duas partes: perto de zero e perto de infinito.
Passo 2
Estudo em [0,1]: Para
temos
, então
. Como
, sabemos que
. Logo, a parte de 0 a 1 converge.
Passo 3
Estudo em [1,\infty): Para
, temos
, logo
. A integral
converge se e somente se o expoente
, isto é,
, condição dada.
Passo 4
Como ambas as partes, de 0 a 1 e de 1 a
, convergem sob as hipóteses
e
, concluímos que a integral original converge.
Resposta
A integral
converge sempre que
e
.