Mostre que se a>-1 e b>a+1, então a integral integral0^infty x^a1+x^b d x converge.

Passo 1

Resumo: Temos a integral imprópria integral0^infty x^a1+x^b,dx, com as condições a>-1 e b>a+1. O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias usando comparações. Vamos dividir o domínio em duas partes: perto de zero e perto de infinito.

Passo 2

Estudo em [0,1]: Para xin(0,1] temos 1+x^b>=1, então x^a1+x^b<= x^a. Como a>-1, sabemos que integral0^1 x^a,dx = 1a+1. Logo, a parte de 0 a 1 converge.

Passo 3

Estudo em [1,\infty): Para x>=1, temos 1+x^b>= x^b, logo x^a1+x^b<= x^ax^b = x^a-b. A integral integral1^infty x^a-b,dx converge se e somente se o expoente a-b<-1, isto é, b>a+1, condição dada.

Passo 4

Como ambas as partes, de 0 a 1 e de 1 a infty, convergem sob as hipóteses a>-1 e b>a+1, concluímos que a integral original converge.

Resposta

A integral integral0^infty x^a1+x^b,dx converge sempre que a>-1 e b>a+1.

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