Calcule a área da região delimitada pelas curvas e .
Passo 1
Neste exercício vamos encontrar a área da região limitada pelas curvas , e pela reta vertical . O conteúdo principal é cálculo de área usando integrais definidas e vamos precisar conhecer diferenças de funções, mudança de variável e frações parciais.
Passo 2
Primeiro identificamos os limites de integração. As duas curvas se intersectam quando
o que leva a . Como a outra fronteira é , a região em vai de 0 a 1 e a área é
Passo 3
Agora simplificamos a diferença dentro da integral. Em bloco:
Passo 4
Então
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , logo e . Os limites em também vão de 0 a 1. Em bloco:
Passo 6
Agora usamos divisão de polinômio e frações parciais. Em bloco:
Passo 7
Então
Passo 8
Por fim, avaliamos nos limites: em t=1 temos -4cdot1+4ln31=-4+4ln3 e em t=0 o termo logarítmico some. Portanto a área é -4+4ln3.