Calcule a área da região delimitada pelas curvas y=1 /(2+raizx), y=1 /(2-raizx) e x=1.

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar a área da região limitada pelas curvas y=12+raizx, y=12-raizx e pela reta vertical x=1. O conteúdo principal é cálculo de área usando integrais definidas e vamos precisar conhecer diferenças de funções, mudança de variável e frações parciais.

Passo 2

Primeiro identificamos os limites de integração. As duas curvas se intersectam quando
12+raizx=12-raizx
o que leva a x=0. Como a outra fronteira é x=1, a região em x vai de 0 a 1 e a área é
A=integral0^1l(ysup-yinfr),dx=integral0^1l(12-raizx-12+raizxr)dx

Passo 3

Agora simplificamos a diferença dentro da integral. Em bloco:
12-raizx-12+raizx=(2+raizx)-(2-raizx)(2-raizx)(2+raizx)=2raizx4-x

Passo 4

Então
A=integral0^12raizx4-x,dx

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos a substituição t=raizx, logo x=t^2 e dx=2t,dt. Os limites em t também vão de 0 a 1. Em bloco:
A=integral0^12t4-t^2cdot2t,dt=integral0^14t^24-t^2,dt

Passo 6

Agora usamos divisão de polinômio e frações parciais. Em bloco:
4t^24-t^2=-4+164-t^2

Passo 7

Então
A=integral0^1l(-4+164-t^2r)dt =l[-4t+4lnl|2+t2-tr|r]0^1

Passo 8

Por fim, avaliamos nos limites: em t=1 temos -4cdot1+4ln31=-4+4ln3 e em t=0 o termo logarítmico some. Portanto a área é -4+4ln3.

Resposta

4ln3-4

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