Mostre que A(a,-3 a), B(a+3,-3 a-1) e C(a+5,-3 a-2) são colineares para todo valor real de a.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos
A\bigl(a,\,-3a\bigr),\quad B\bigl(a+3,\,-3a-1\bigr),\quad C\bigl(a+5,\,-3a-2\bigr)
são colineares para todo a\in\mathbb{R}.
Em geometria analítica, três pontos são colineares se, e somente se, o coeficiente angular de AB for igual ao coeficiente angular de BC.

Passo 2

Calculemos o coeficiente angular de AB e de BC:
m_{AB} =\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =\frac{(-3a-1)-(-3a)}{(a+3)-a} =\frac{-1}{3}
m_{BC} =\frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} =\frac{(-3a-2)-(-3a-1)}{(a+5)-(a+3)} =\frac{-1}{2}

Passo 3

Como
m_{AB}=-\tfrac{1}{3} \quad\text{e}\quad m_{BC}=-\tfrac{1}{2},
vemos que m_{AB}\neq m_{BC} para qualquer a. Logo as retas AB e BC são distintas, e os três pontos não podem estar sobre a mesma reta.

Resposta

Os pontos A, B e C não são colineares para nenhum valor de a.

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