(Pucrj 2013) A uma certa hora da manhã, a inclinação dos raios solares é tal que um muro de 4,0 \mathrm{~m} de altura projeta, no chão horizontal, uma sombra de comprimento 6,0 \mathrm{~m}.
Uma senhora de 1,6 \mathrm{~m} de altura, caminhando na direção do muro, é totalmente coberta pela sombra quando se encontra a quantos metros do muro?
a) 2,0
b) 2,4
c) 1,5
d) 3,6
e) 1,1

Passo 1

O enunciado diz que um muro de altura H=4{,}0 m projeta uma sombra de comprimento L=6{,}0 m no chão, sob raios solares praticamente paralelos. Uma pessoa de altura h=1{,}6 m caminha na direção do muro. Para saber quando ela fica totalmente sob a sombra do muro, vamos usar semelhança de triângulos: o perfil vertical da sombra é definido pela reta que vai do topo do muro até a ponta da sombra no chão.

Passo 2

Seja x a distância da pessoa ao muro (medida ao longo do chão, no mesmo sentido da sombra). A reta limite entre luz e sombra satisfaz
z(x)=H\Bigl(1-\frac{x}{L}\Bigr),
onde z(x) é a altura, acima do chão, do raio solar limite, a partir do muro x=0 até x=L.

Passo 3

A pessoa fica completamente coberta quando o topo de sua cabeça, de altura h, fica exatamente sobre essa reta limite, isto é, quando
h = H\Bigl(1-\frac{x}{L}\Bigr).

Passo 4

Substituindo H=4{,}0, L=6{,}0 e h=1{,}6:
1{,}6 = 4{,}0\Bigl(1-\frac{x}{6{,}0}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{1{,}6}{4{,}0}=1-\frac{x}{6{,}0} \quad\Longrightarrow\quad 0{,}4=1-\frac{x}{6}
\frac{x}{6}=1-0{,}4=0{,}6 \quad\Longrightarrow\quad x=6\times0{,}6=3{,}6\text{ m}.

Resposta

3,6

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