O baricentro de um triângulo é \mathrm{G}\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right), determine as coordenadas do vértice A, sabendo que o ponto médio do lado BC é \mathrm{N}\left(0, \frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá o baricentro G de um triângulo ABC em
G\Bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\Bigr)
e o ponto médio N do lado BC em
N\Bigl(0,\,\tfrac{1}{2}\Bigr).
Queremos encontrar as coordenadas do vértice A. Para isso, vamos usar as fórmulas de ponto médio e de baricentro (média aritmética das coordenadas dos vértices).

Passo 2

Sejam
A(x_A,y_A),\quad B(x_B,y_B),\quad C(x_C,y_C).
Pela definição de ponto médio,
\frac{x_B+x_C}{2}=0, \qquad \frac{y_B+y_C}{2}=\frac12.
Logo,
x_B+x_C=0, \qquad y_B+y_C=1.

Passo 3

Pela definição de baricentro,
\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{2}{3}, \qquad \frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1}{3}.
Multiplicando por 3, obtemos
x_A+x_B+x_C=2, \qquad y_A+y_B+y_C=1.
Substituindo x_B+x_C=0 e y_B+y_C=1, vem
x_A+0=2 \quad\Rightarrow\quad x_A=2,
y_A+1=1 \quad\Rightarrow\quad y_A=0.

Resposta

As coordenadas do vértice A são \bigl(2,0\bigr).

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