Mostre que três pontos A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right) e C\left(x_{3}, y_{3}\right) são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam a igualdade:
\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{2}\right)=\left(x_{3}-x_{2}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que três pontos A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2}) e C(x_{3},y_{3}) são colineares se, e somente se, suas coordenadas satisfazem
(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{2}) = (x_{3}-x_{2})(y_{2}-y_{1}).
O conteúdo é geometria analítica, mais especificamente a condição de paralelismo de vetores em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Em geometria analítica, três pontos são colineares exatamente quando os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} são paralelos. Em \mathbb{R}^2, dois vetores (u_{x},u_{y}) e (v_{x},v_{y}) são paralelos se, e somente se, o determinante que forma o “produto vetorial escalar” for zero:
\det\begin{pmatrix}u_{x} & v_{x}\u_{y} & v_{y}\end{pmatrix} = u_{x}v_{y} - u_{y}v_{x} = 0.

Passo 3

Definimos
\overrightarrow{AB} = (x_{2}-x_{1},\,y_{2}-y_{1}), \quad \overrightarrow{BC} = (x_{3}-x_{2},\,y_{3}-y_{2}).
A condição de paralelismo \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}=0
(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{2}) \;-\;(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{2}) = 0.

Passo 4

Reagrupando a igualdade acima obtemos
(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{2}) = (x_{3}-x_{2})(y_{2}-y_{1}),
e isso vale se, e somente se, \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} são paralelos. Logo, A, B e C são colineares exatamente quando satisfazem essa igualdade.

Resposta

(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{2}) = (x_{3}-x_{2})(y_{2}-y_{1}).

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