Mostre que três pontos A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right) e C\left(x_{3}, y_{3}\right) são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam a igualdade:
O enunciado pede para mostrar que três pontos A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2}) e C(x_{3},y_{3}) são colineares se, e somente se, suas coordenadas satisfazem
O conteúdo é geometria analítica, mais especificamente a condição de paralelismo de vetores em \mathbb{R}^2.
Passo 2
Em geometria analítica, três pontos são colineares exatamente quando os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} são paralelos. Em \mathbb{R}^2, dois vetores (u_{x},u_{y}) e (v_{x},v_{y}) são paralelos se, e somente se, o determinante que forma o “produto vetorial escalar” for zero:
e isso vale se, e somente se, \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} são paralelos. Logo, A, B e C são colineares exatamente quando satisfazem essa igualdade.