Mostre que
(a) a^2-b^2=(a-b)(a+b);
(b) a^3-b^3=(a-b)(a^2+a b+b^2);
(c) a^n-b^n=ldots ? ? ? ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos três identidades de fatoração de diferenças de potências: a diferença de quadrados, a diferença de cubos e a diferença de potências em geral. O conteúdo fundamental é o uso do fator comum e, no caso geral, a soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

Para mostrar (a), a^2-b^2=(a-b)(a+b), note que
a^2-b^2=a^2-ab+ab-b^2=a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b)
Aqui extraímos o fator comum (a-b) em duas parcelas.

Passo 3

Para mostrar (b), a^3-b^3=(a-b)l(a^2+ab+b^2r), podemos usar divisão de polinômio ou fatorar por agrupamento:
a^3-b^3=a^3-a^2b+a^2b-ab^2+ab^2-b^3
=a^2(a-b)+ab(a-b)+b^2(a-b)=(a-b)l(a^2+ab+b^2r)

Passo 4

Para (c), a^n-b^n, observe que dividir a^n-b^n por (a-b) é equivalente a somar os termos de uma progressão geométrica de razão tfracba. O resultado é
a^n-b^n=(a-b)sumk=0^n-1a^n-1-kb^k

Resposta

(a) a^2-b^2=(a-b)(a+b)
(b) a^3-b^3=(a-b)l(a^2+ab+b^2r)
(c) a^n-b^n=(a-b)sumk=0^n-1a^,n-1-kb^,k

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