1. Usando diferenciação logarítmica, calcule f^prime(0), sendo f(x)=raizx+1(2-x)^5(x+3)^4.

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=raizx+1,(2-x)^5(x+3)^4
e pede f'(0) usando diferenciação logarítmica. Vamos usar que
ddxl(ln f(x)r)=f'(x)f(x),
de modo que f'(x)=f(x),ddx[ln f(x)].

Passo 2

Calculamos primeiro o logaritmo natural de f(x):
ln f(x) =lnl(raizx+1r)+lnl((2-x)^5r)-lnl((x+3)^4r)
Como ln(raizx+1)=tfrac12ln(x+1), lnl((2-x)^5r)=5ln(2-x) e lnl((x+3)^4r)=4ln(x+3), temos
ln f(x) =tfrac12ln(x+1)+5ln(2-x)-4ln(x+3)

Passo 3

Derivando cada termo em x:
ddxl[tfrac12ln(x+1)r] =12(x+1), ddxl[5ln(2-x)r] =5cdot-12-x=-52-x, ddxl[-4ln(x+3)r] =-4cdot1x+3=-4x+3
Logo,
ddx[ln f(x)] =12(x+1)-52-x-4x+3

Passo 4

Pela fórmula da diferenciação logarítmica,
f'(x) =f(x),ddx[ln f(x)] =raizx+1,(2-x)^5(x+3)^4 l[12(x+1)-52-x-4x+3r]

Passo 5

Agora avaliamos em x=0. Primeiro
f(0)=raiz0+1,(2-0)^5(0+3)^4 =1cdot 3281=3281
Em seguida,
12(0+1)-52-0-40+3 =12-52-43 =l(!-tfrac42r)-tfrac43 =-2-tfrac43 =-tfrac103
Portanto,
f'(0) =3281cdotl(-103r) =-320243

Resposta

f'(0)=-320243

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