Mostre que
Se
e
são invertíveis, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes
,
e
invertíveis (e compatíveis para multiplicação), vale
Informações dadas:
Não será preciso assumir mais nada além da existência dos inversos
e das propriedades básicas da multiplicação de matrizes.
Passo 2
Lembrete importante (definição de inverso e unicidade): uma matriz
é invertível se existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade apropriada. Além disso a inversa é única: se
e
satisfazem
e
, então
ou seja,
. Essa unicidade é crucial para concluir que uma matriz tem exatamente uma inversa.
Passo 3
Estratégia de prova: vou mostrar que a matriz
é simultaneamente uma inversa à direita e uma inversa à esquerda de
. Pelo item da unicidade do passo anterior, isso garante que
é precisamente
.
Passo 4
Mostro que
é uma inversa à direita de
, isto é,
Cálculo usando associatividade (a multiplicação de matrizes é associativa, permitimos reescrever parênteses sem mudar o resultado):
Agora uso que
, então
Como
obtemos
Portanto
Passo 5
Mostro agora que
é uma inversa à esquerda de
, isto é,
Novamente usando associatividade:
Como
, segue
E
, logo
Portanto
Passo 6
Como
é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de
, pela unicidade da inversa concluímos que
Observação prática: perceba que a ordem dos fatores foi invertida — isso é obrigatório, pois multiplicação de matrizes não é comutativa.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (passo-a-passo útil para a prova): escolha
As inversas são
Calculando
obtemos
cuja inversa (por fórmula de
) é
Agora calcule
:
que coincide com
. Isso ilustra na prática a identidade provada.]
Passo 8
Dica para a prova: para inverter um produto de matrizes, inverta cada fator e escreva-os na ordem inversa. Sempre justifique com associatividade e com a unicidade da inversa (mostrar que algo é inversa à direita e à esquerda ou apenas mostrar uma das duas e usar propriedades, dependendo do contexto).