Mostre que
Se A, B e C são invertíveis, então (A B C)^{-1}=C^{-1} B^{-1} A^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes A, B e C invertíveis (e compatíveis para multiplicação), vale
(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}.
Informações dadas:
\text{(i) }A,\;B,\;C\text{ são invertíveis;}ãí
\text{(ii) as multiplicações }AB,\;BC,\;ABC\text{ fazem sentido (matrizes de ordem compatível).}çõí
Não será preciso assumir mais nada além da existência dos inversos A^{-1},B^{-1},C^{-1} e das propriedades básicas da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Lembrete importante (definição de inverso e unicidade): uma matriz M é invertível se existe uma matriz M^{-1} tal que
MM^{-1}=M^{-1}M=I,
onde I é a matriz identidade apropriada. Além disso a inversa é única: se X e Y satisfazem MX=XM=I e MY=YM=I, então
X = X I = X(MY) = (XM)Y = IY = Y,
ou seja, X=Y. Essa unicidade é crucial para concluir que uma matriz tem exatamente uma inversa.

Passo 3

Estratégia de prova: vou mostrar que a matriz C^{-1}B^{-1}A^{-1} é simultaneamente uma inversa à direita e uma inversa à esquerda de ABC. Pelo item da unicidade do passo anterior, isso garante que C^{-1}B^{-1}A^{-1} é precisamente (ABC)^{-1}.

Passo 4

Mostro que C^{-1}B^{-1}A^{-1} é uma inversa à direita de ABC, isto é,
(ABC)\bigl(C^{-1}B^{-1}A^{-1}\bigr)=I.
Cálculo usando associatividade (a multiplicação de matrizes é associativa, permitimos reescrever parênteses sem mudar o resultado):
(ABC)\bigl(C^{-1}B^{-1}A^{-1}\bigr) = A\bigl(B(C\,C^{-1})B^{-1}\bigr)A^{-1}.
Agora uso que C\,C^{-1}=I, então
A\bigl(B(C\,C^{-1})B^{-1}\bigr)A^{-1} = A\bigl(B I B^{-1}\bigr)A^{-1} = A\bigl(B B^{-1}\bigr)A^{-1}.
Como B B^{-1}=I obtemos
A\bigl(B B^{-1}\bigr)A^{-1}=A I A^{-1}=A A^{-1}=I.
Portanto
(ABC)\bigl(C^{-1}B^{-1}A^{-1}\bigr)=I.

Passo 5

Mostro agora que C^{-1}B^{-1}A^{-1} é uma inversa à esquerda de ABC, isto é,
\bigl(C^{-1}B^{-1}A^{-1}\bigr)(ABC)=I.
Novamente usando associatividade:
\bigl(C^{-1}B^{-1}A^{-1}\bigr)(ABC) = C^{-1}\bigl(B^{-1}(A^{-1}A)B\bigr)C.
Como A^{-1}A=I, segue
C^{-1}\bigl(B^{-1}(A^{-1}A)B\bigr)C = C^{-1}\bigl(B^{-1} I B\bigr)C = C^{-1}\bigl(B^{-1}B\bigr)C.
E B^{-1}B=I, logo
C^{-1}\bigl(B^{-1}B\bigr)C = C^{-1} I C = C^{-1} C = I.
Portanto
\bigl(C^{-1}B^{-1}A^{-1}\bigr)(ABC)=I.

Passo 6

Como C^{-1}B^{-1}A^{-1} é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de ABC, pela unicidade da inversa concluímos que
(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}.
Observação prática: perceba que a ordem dos fatores foi invertida — isso é obrigatório, pois multiplicação de matrizes não é comutativa.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (passo-a-passo útil para a prova): escolha
A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
As inversas são
A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&0\\[4pt]0&1/3\end{pmatrix},\quad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\quad C^{-1}=C.
Calculando ABC obtemos
ABC=\begin{pmatrix}2&2\\[4pt]3&0\end{pmatrix},
cuja inversa (por fórmula de 2\times2) é
(ABC)^{-1}=\begin{pmatrix}0&1/3\\[4pt]1/2&-1/3\end{pmatrix}.
Agora calcule C^{-1}B^{-1}A^{-1}:
C^{-1}B^{-1}A^{-1} = C\begin{pmatrix}1&-1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/2&0\\[4pt]0&1/3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1/3\\[4pt]1/2&-1/3\end{pmatrix},
que coincide com (ABC)^{-1}. Isso ilustra na prática a identidade provada.]

Passo 8

Dica para a prova: para inverter um produto de matrizes, inverta cada fator e escreva-os na ordem inversa. Sempre justifique com associatividade e com a unicidade da inversa (mostrar que algo é inversa à direita e à esquerda ou apenas mostrar uma das duas e usar propriedades, dependendo do contexto).

Resposta

(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}

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