(Valor 2.0 pts ) Considere o subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado por \mathbf{u}_{1}=(2,-2,0,0), \mathbf{u}_{2}= (0,0,2,2), \mathbf{u}_{3}=(-2,2,2,2) e \mathbf{u}_{4}=(1,0,0,0).
(a) O vetor (3,-2,2,2) \in\left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}\right] ?
(b) Exiba uma base para \left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}\right].
(c) \left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}\right]=\mathbb{R}^{4} ? Por quê?
Passo 1
O enunciado fornece quatro vetores em \mathbb{R}^4:
E pede três coisas:
(a) verificar se o vetor (3,-2,2,2) pertence ao subespaço gerado por esses vetores, isto é, se (3,-2,2,2)\in[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4];
(b) exibir uma base para [\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4];
(c) dizer se [\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4]=\mathbb{R}^4 e justificar.
Passo 2
O que vamos usar e por quê (explicação didática):
Pertencer ao span significa que existe uma combinação linear dos geradores que produza o vetor pedido. Ou seja, existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 tais que
Isso é um sistema linear com incógnitas \alpha_i. A maneira prática é montar a matriz cujas colunas são \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4 e resolver por eliminação de Gauss (redução por linhas). Se o sistema for consistente, o vetor está no span.
Para achar uma base do span: a ideia prática é fazer redução por linhas na matriz cujas colunas são os vetores; as colunas que contêm pivôs (colunas-pivô) correspondem a um subconjunto de vetores originais que é linearmente independente e que gera o mesmo span. Esses vetores (colunas-pivô) formam uma base.
Para decidir se o span é \mathbb{R}^4: basta checar a dimensão do span (o posto, número de pivôs). Se o posto for 4 então o span é \mathbb{R}^4; se for menor que 4 então não é.
Passo 3
Montamos a matriz cujas colunas são \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4 e, para (a), colocamos o vetor alvo como coluna augmentada (sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}):
Cada coluna é um dos \mathbf{u}_i e a última coluna é o lado direito (3,-2,2,2). Agora vamos reduzir essa matriz por linhas, explicando cada operação.]
Passo 4
Redução por linhas passo a passo (cada operação é uma combinação linear das linhas; não altera o conjunto de soluções):
Agora a matriz está em forma escalonada reduzida suficiente para ler as equações associadas.]
Passo 5
Interpretando as equações das linhas reduzi das:
Linha 1: \;x_1 - x_3 = 1.
Linha 2: \;x_4 = 1.
Linha 3: \;x_2 + x_3 = 1.
Aqui x_1,x_2,x_3,x_4 são os coeficientes \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 na combinação linear. Note que x_3 é variável livre; chamemos x_3=t. Então:
Isso mostra que existe pelo menos uma solução (na verdade infinitas) — portanto o sistema é consistente e (3,-2,2,2) pertence ao span. Podemos escolher t=0 para obter a solução simples
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,1,0,1).
Verificação direta (útil na prova): calcular 1\mathbf{u}_1+1\mathbf{u}_2+0\mathbf{u}_3+1\mathbf{u}_4:
Pelo processo de eliminação vimos que a matriz das colunas tem pivôs nas colunas 1, 2 e 4 (as colunas correspondentes a \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4). Isso significa que essas três colunas são linearmente independentes e geram o mesmo subespaço que todas as quatro colunas juntas. Em outras palavras, \mathbf{u}_3 é combinação linear das outras três.
Mostramos explicitamente a dependência de \mathbf{u}_3: resolvendo \alpha_1\mathbf{u}_1+\alpha_2\mathbf{u}_2+\alpha_4\mathbf{u}_4=\mathbf{u}_3 obtemos (rapidamente, da segunda coordenada) \alpha_1=-1; daí \alpha_2=1 e \alpha_4=0. Assim
Portanto um conjunto independente gerador (uma base) é
\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4\}.
Podemos também escrever explicitamente:
\{(2,-2,0,0),\\ (0,0,2,2),\\ (1,0,0,0)\}.
Passo 7
Decidir se o span é igual a \mathbb{R}^4.
O posto (rank) da matriz formada pelas colunas é o número de pivôs que encontramos, que é 3. A dimensão do subespaço gerado é, portanto, 3. Como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, não é possível que um subespaço de dimensão 3 seja todo \mathbb{R}^4. Logo
Intuitivamente: precisamos de 4 vetores linearmente independentes para gerar \mathbb{R}^4; aqui só temos 3 independentes.
Resposta
(a) Sim. Por exemplo, (1,1,0,1) são coeficientes tais que \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_4=(3,-2,2,2).
(b) Uma base é \{\,\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4\,\}=\{(2,-2,0,0),(0,0,2,2),(1,0,0,0)\}.
(c) Não. O subespaço tem dimensão 3 (posto =3), logo não é \mathbb{R}^4 (que tem dimensão 4).