1. (Valor 2.0 pts ) Considere o subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado por \mathbf{u}_{1}=(2,-2,0,0), \mathbf{u}_{2}= (0,0,2,2), \mathbf{u}_{3}=(-2,2,2,2) e \mathbf{u}_{4}=(1,0,0,0).
    (a) O vetor (3,-2,2,2) \in\left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}\right] ?
    (b) Exiba uma base para \left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}\right].
    (c) \left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}\right]=\mathbb{R}^{4} ? Por quê?

Passo 1

O enunciado fornece quatro vetores em \mathbb{R}^4:
\mathbf{u}_1=(2,-2,0,0),\qquad \mathbf{u}_2=(0,0,2,2),\qquad \mathbf{u}_3=(-2,2,2,2),\qquad \mathbf{u}_4=(1,0,0,0).
E pede três coisas:
(a) verificar se o vetor (3,-2,2,2) pertence ao subespaço gerado por esses vetores, isto é, se (3,-2,2,2)\in[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4];
(b) exibir uma base para [\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4];
(c) dizer se [\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4]=\mathbb{R}^4 e justificar.

Passo 2

O que vamos usar e por quê (explicação didática):
  • Pertencer ao span significa que existe uma combinação linear dos geradores que produza o vetor pedido. Ou seja, existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 tais que
\alpha_1\mathbf{u}_1+\alpha_2\mathbf{u}_2+\alpha_3\mathbf{u}_3+\alpha_4\mathbf{u}_4=(3,-2,2,2).
  • Isso é um sistema linear com incógnitas \alpha_i. A maneira prática é montar a matriz cujas colunas são \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4 e resolver por eliminação de Gauss (redução por linhas). Se o sistema for consistente, o vetor está no span.
  • Para achar uma base do span: a ideia prática é fazer redução por linhas na matriz cujas colunas são os vetores; as colunas que contêm pivôs (colunas-pivô) correspondem a um subconjunto de vetores originais que é linearmente independente e que gera o mesmo span. Esses vetores (colunas-pivô) formam uma base.
  • Para decidir se o span é \mathbb{R}^4: basta checar a dimensão do span (o posto, número de pivôs). Se o posto for 4 então o span é \mathbb{R}^4; se for menor que 4 então não é.

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4 e, para (a), colocamos o vetor alvo como coluna augmentada (sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & -2 & 1 & 3\\[4pt] -2 & 0 & 2 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0 & 2 \end{array}\right].
Cada coluna é um dos \mathbf{u}_i e a última coluna é o lado direito (3,-2,2,2). Agora vamos reduzir essa matriz por linhas, explicando cada operação.]

Passo 4

Redução por linhas passo a passo (cada operação é uma combinação linear das linhas; não altera o conjunto de soluções):
Matriz inicial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & -2 & 1 & 3\\[4pt] -2 & 0 & 2 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0 & 2 \end{array}\right]
  1. Eliminamos o elemento na posição (2,1) somando a linha 1 à linha 2: R_2\leftarrow R_2+R_1. Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & -2 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0 & 2 \end{array}\right]
  1. Usamos R_2 para zerar o elemento da coluna 4 em R_1: R_1\leftarrow R_1-R_2. Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & -2 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0 & 2 \end{array}\right]
  1. Subtraímos R_3 de R_4 para eliminar a linha repetida: R_4\leftarrow R_4-R_3. Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & -2 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
  1. Tornamos pivôs iguais a 1 onde for conveniente: R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1 e R_3\leftarrow \tfrac{1}{2}R_3. Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Agora a matriz está em forma escalonada reduzida suficiente para ler as equações associadas.]

Passo 5

Interpretando as equações das linhas reduzi das:
  • Linha 1: \;x_1 - x_3 = 1.
  • Linha 2: \;x_4 = 1.
  • Linha 3: \;x_2 + x_3 = 1.
Aqui x_1,x_2,x_3,x_4 são os coeficientes \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 na combinação linear. Note que x_3 é variável livre; chamemos x_3=t. Então:
x_1 = 1 + t,\qquad x_2 = 1 - t,\qquad x_4 = 1,\qquad x_3=t.
Isso mostra que existe pelo menos uma solução (na verdade infinitas) — portanto o sistema é consistente e (3,-2,2,2) pertence ao span. Podemos escolher t=0 para obter a solução simples
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,1,0,1).
Verificação direta (útil na prova): calcular 1\mathbf{u}_1+1\mathbf{u}_2+0\mathbf{u}_3+1\mathbf{u}_4:
\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_4=(2, -2, 0,0)+(0,0,2,2)+(1,0,0,0)=(3,-2,2,2),
confirma.

Passo 6

Encontrar uma base para o subespaço gerado.
Pelo processo de eliminação vimos que a matriz das colunas tem pivôs nas colunas 1, 2 e 4 (as colunas correspondentes a \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4). Isso significa que essas três colunas são linearmente independentes e geram o mesmo subespaço que todas as quatro colunas juntas. Em outras palavras, \mathbf{u}_3 é combinação linear das outras três.
Mostramos explicitamente a dependência de \mathbf{u}_3: resolvendo \alpha_1\mathbf{u}_1+\alpha_2\mathbf{u}_2+\alpha_4\mathbf{u}_4=\mathbf{u}_3 obtemos (rapidamente, da segunda coordenada) \alpha_1=-1; daí \alpha_2=1 e \alpha_4=0. Assim
\mathbf{u}_3 = -\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 + 0\cdot\mathbf{u}_4.
Portanto um conjunto independente gerador (uma base) é
\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4\}.
Podemos também escrever explicitamente:
\{(2,-2,0,0),\\ (0,0,2,2),\\ (1,0,0,0)\}.

Passo 7

Decidir se o span é igual a \mathbb{R}^4.
O posto (rank) da matriz formada pelas colunas é o número de pivôs que encontramos, que é 3. A dimensão do subespaço gerado é, portanto, 3. Como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, não é possível que um subespaço de dimensão 3 seja todo \mathbb{R}^4. Logo
[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4]\neq\mathbb{R}^4.
Intuitivamente: precisamos de 4 vetores linearmente independentes para gerar \mathbb{R}^4; aqui só temos 3 independentes.

Resposta

(a) Sim. Por exemplo, (1,1,0,1) são coeficientes tais que \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_4=(3,-2,2,2).
(b) Uma base é \{\,\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_4\,\}=\{(2,-2,0,0),(0,0,2,2),(1,0,0,0)\}.
(c) Não. O subespaço tem dimensão 3 (posto =3), logo não é \mathbb{R}^4 (que tem dimensão 4).

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