1. (Valor 2.0 pts ) Seja W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: x+y+z=0\right\}.
    (a) Encontre uma base e dimensão de W.
    (b) Encontre uma base e dimensão de W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 : x+y+z=0\}.
As perguntas são:
(a) Encontrar uma base e a dimensão de W.
(b) Encontrar uma base e a dimensão de W^{\perp}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;W é o conjunto de vetores em \mathbb{R}^4 sujeitos à única restrição linear \;x+y+z=0. Não há restrição sobre w.
(Fim da identificação do que é pedido e dos dados; a partir do próximo passo começamos a resolver.)

Passo 2

Vamos encontrar uma descrição paramétrica de W. A equação \;x+y+z=0 permite escrever x em função de y e z. Faço isso explicitamente:
x = -y - z.
Agora tomo y,z,w como parâmetros livres. Para clarear, chamo y=s,\;z=t,\;w=u, com s,t,u\in\mathbb{R}. Assim um vetor genérico de W é
(x,y,z,w)=(-s-t,\;s,\;t,\;u).
Reescrevo esse vetor como combinação linear dos parâmetros s,t,u:
(-s-t,\;s,\;t,\;u)=s(-1,1,0,0)+t(-1,0,1,0)+u(0,0,0,1).

Passo 3

Da expressão acima vemos imediatamente três vetores que geram W:
v_1 = (-1,1,0,0),\qquad v_2 = (-1,0,1,0),\qquad v_3 = (0,0,0,1).
Vou explicar por que \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de W:
  • Geração: qualquer vetor (x,y,z,w)\in W foi escrito como s v_1 + t v_2 + u v_3 com s,y escolhidos de forma a corresponder a y,z,w. Logo esses vetores geram W.
  • Independência linear: suponha que existam \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
primeira coordenada: -\alpha-\beta = 0,
segunda: \alpha = 0,
terceira: \beta = 0,
quarta: \gamma = 0.
Das segundas e terceiras equações obtemos \alpha=\beta=0, daí pela primeira já é consistente, e \gamma=0. Então só a combinação trivial produz o vetor nulo, logo são linearmente independentes.
Portanto \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de W. Como são três vetores linearmente independentes que geram W, a dimensão de W é 3.
(Observação rápida de verificação: uma única equação linear independente em \mathbb{R}^4 tipicamente reduz a dimensão em 1, então \dim W=4-1=3, o que bate com o resultado acima.)

Passo 4

Agora vou encontrar W^{\perp}. Lembro o conceito (explico devagar): W^{\perp} é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^4 que são ortogonais a todo vetor de W. Em fórmulas:
W^{\perp}=\{u\in\mathbb{R}^4 : u\cdot w=0\\ \text{para todo}\\ w\in W\},
onde o produto interno padrão é
u\cdot w = a x + b y + c z + d w
se u=(a,b,c,d) e w=(x,y,z,w).
Uma maneira prática: basta exigir que u seja ortogonal a cada vetor da base de W que encontramos. Seja u=(a,b,c,d). Impomos
u\cdot v_1 = 0,\qquad u\cdot v_2 = 0,\qquad u\cdot v_3 = 0,
e resolvemos para a,b,c,d.

Passo 5

Calculo as três equações de ortogonalidade usando os vetores da base de W:
Com v_1 = (-1,1,0,0):
u\cdot v_1 = a(-1)+b(1)+c(0)+d(0) = -a + b = 0.
Com v_2 = (-1,0,1,0):
u\cdot v_2 = -a + c = 0.
Com v_3 = (0,0,0,1):
u\cdot v_3 = d = 0.
Agora resolvo esse sistema simples:
  • Da primeira equação -a+b=0 segue b=a.
  • Da segunda -a+c=0 segue c=a.
  • Da terceira d=0.
Logo u tem a forma
u=(a,a,a,0)=a(1,1,1,0),
com a\in\mathbb{R}. Portanto todos os vetores ortogonais a W são múltiplos de (1,1,1,0).

Passo 6

Concluímos que W^{\perp} é o subespaço gerado por (1,1,1,0). Isso significa que \{(1,1,1,0)\} é uma base de W^{\perp} e seu espaço tem dimensão 1.
Para dar confiança: verifico rapidamente que (1,1,1,0) é ortogonal a qualquer vetor de W. Se w=(x,y,z,w)\in W, então x+y+z=0 e
(1,1,1,0)\cdot(x,y,z,w) = x+y+z = 0,
portanto está correto.

Resposta

(a) Base de W: \{(-1,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(0,0,0,1)\}. Dimensão de W: 3.
(b) Base de W^{\perp}: \{(1,1,1,0)\}. Dimensão de W^{\perp}: 1.

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