- (Valor 2.0 pts
Seja
.
(a) Encontre uma base e dimensão de
.
(b) Encontre uma base e dimensão de
.
(a) Encontre uma base e dimensão de
(b) Encontre uma base e dimensão de
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
As perguntas são:
(a) Encontrar uma base e a dimensão de .
(b) Encontrar uma base e a dimensão de .
(a) Encontrar uma base e a dimensão de
(b) Encontrar uma base e a dimensão de
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
é o conjunto de vetores em
sujeitos à única restrição linear
. Não há restrição sobre
.
(Fim da identificação do que é pedido e dos dados; a partir do próximo passo começamos a resolver.)
(Fim da identificação do que é pedido e dos dados; a partir do próximo passo começamos a resolver.)
Passo 2
Vamos encontrar uma descrição paramétrica de
. A equação
permite escrever
em função de
e
. Faço isso explicitamente:
Agora tomo
como parâmetros livres. Para clarear, chamo
, com
. Assim um vetor genérico de
é
Reescrevo esse vetor como combinação linear dos parâmetros
:
Passo 3
Da expressão acima vemos imediatamente três vetores que geram
:
Vou explicar por que
é uma base de
:
-
Geração: qualquer vetor
foi escrito como com escolhidos de forma a corresponder a . Logo esses vetores geram . -
Independência linear: suponha que existam
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
primeira coordenada: ,
segunda: ,
terceira: ,
quarta: .
Das segundas e terceiras equações obtemos , daí pela primeira já é consistente, e
. Então só a combinação trivial produz o vetor nulo, logo são linearmente independentes.
primeira coordenada:
segunda:
terceira:
quarta:
Das segundas e terceiras equações obtemos
Portanto
é uma base de
. Como são três vetores linearmente independentes que geram
, a dimensão de
é
.
(Observação rápida de verificação: uma única equação linear independente em
tipicamente reduz a dimensão em
, então
, o que bate com o resultado acima.)
Passo 4
Agora vou encontrar
. Lembro o conceito (explico devagar):
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todo vetor de
. Em fórmulas:
onde o produto interno padrão é
se
e
.
Uma maneira prática: basta exigir que
seja ortogonal a cada vetor da base de
que encontramos. Seja
. Impomos
e resolvemos para
.
Passo 5
Calculo as três equações de ortogonalidade usando os vetores da base de
:
Com
:
Com
:
Com
:
Agora resolvo esse sistema simples:
- Da primeira equação
segue . - Da segunda
segue . - Da terceira
.
Logo
tem a forma
com
. Portanto todos os vetores ortogonais a
são múltiplos de
.
Passo 6
Concluímos que
é o subespaço gerado por
. Isso significa que
é uma base de
e seu espaço tem dimensão
.
Para dar confiança: verifico rapidamente que
é ortogonal a qualquer vetor de
. Se
, então
e
portanto está correto.
Resposta
(a) Base de
:
. Dimensão de
:
.
(b) Base de :
. Dimensão de
:
.
(b) Base de