Seja A uma matriz cujos elementos são todos números inteiros. É possível que \operatorname{det}(A) seja um número fracionário?

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A de ordem n cujos elementos a_{ij} são todos números inteiros e pergunta se \det(A) pode ser um número fracionário. O conteúdo é a definição de determinante e a propriedade de soma e produto de inteiros.

Passo 2

Pela definição de Laplace ou via permutações, temos
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.
Aqui cada termo \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} é o produto de n inteiros, logo é um inteiro, e \sgn(\sigma)\in\{-1,1\}.

Passo 3

Como cada termo \sgn(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} é um inteiro e a soma de inteiros é inteira, conclui-se que \det(A) é inteiro. Portanto não pode ser um número fracionário.

Resposta

Não. Se todos os elementos de A são inteiros, então \det(A)\in\mathbb{Z} e não pode ser fracionário.

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