Mostre que se a, b in R, então
max a, b=a+b2+|a-b|2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,binR, vale a fórmula
maxa,b ;=;a+b2 ;+;lvert a-brvert2
O conteúdo usado será a definição por casos do valor absoluto e a verificação de que o lado direito coincide com a quando a>= b e com b quando a<b.

Passo 2

Lembramos a definição por casos do valor absoluto:
lvert a-brvert = a-b, &se a>= b, b-a, &se a< b

Passo 3

Suponha a>= b. Então lvert a-brvert = a-b e
a+b2+lvert a-brvert2 =a+b2+a-b2 =(a+b)+(a-b)2 =2a2=a
Como a>= b, temos maxa,b=a, logo o lado direito reproduz maxa,b.

Passo 4

Suponha a<b. Então lvert a-brvert = b-a e
a+b2+lvert a-brvert2 =a+b2+b-a2 =(a+b)+(b-a)2 =2b2=b
Como b>a, temos maxa,b=b, de modo que o lado direito também coincide com maxa,b.

Passo 5

Em ambos os casos ( a>= b e a<b) o valor de a+b2+lvert a-brvert2 é exatamente maxa,b. Assim, a identidade está demonstrada.

Resposta

maxa,b=a+b2+lvert a-brvert2

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