Questão 4: Considere a equação diferencial
2 y(1+x^2)1+2 x^2 y^prime-2 x y^2(1+2 x^2)^2=1
(a) Verifique se a equação dada é axata.
(b) Determine a solução geral da equação.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
2y(1+x^2)1+2x^2,dydx-2x,y^2(1+2x^2)^2=1
O conteúdo é equações diferenciais exatas, então vamos reescrevê-la na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0

Passo 2

Reorganizando para ter tudo igual a zero, obtemos
-l(1+2x,y^2(1+2x^2)^2r),dx+2y(1+x^2)1+2x^2,dy=0,
ou seja
M(x,y)=-1-2x,y^2(1+2x^2)^2, N(x,y)=2y(1+x^2)1+2x^2

Passo 3

Para verificar exactidão comparamos
partial Mpartial y =-4x,y(1+2x^2)^2, partial Npartial x =2ycdotddxl(1+x^21+2x^2r) =2ycdot-2x(1+2x^2)^2 =-4x,y(1+2x^2)^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos phi(x,y) tal que
phix=M
Integramos em x, tratando y como constante:
phi(x,y) =integrall(-1-2x,y^2(1+2x^2)^2r),dx =-x+y^22(1+2x^2)+h(y)

Passo 5

Agora exigimos
phiy=N
Calculamos phiy=y1+2x^2+h'(y) e comparamos a
y1+2x^2+h'(y)=2y(1+x^2)1+2x^2.
Isso dá
h'(y)=2y(1+x^2)-y1+2x^2=y,
logo h(y)=y^2/2. Substituindo,
phi(x,y)=-x+y^22(1+2x^2)+y^22 =-x+y^21+x^21+2x^2

Passo 6

A solução geral é dada implicitamente por
phi(x,y)=C,
isto é
(1+x^2),y^21+2x^2-x=C
Opcionalmente, isolando y^2:
y^2=(x+C),1+2x^21+x^2

Resposta

(a) A equação é exata porque partial M/partial y=partial N/partial x.
(b) A solução geral, em forma implícita, é
(1+x^2),y^21+2x^2-x=C

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