Questão 4: Considere a equação diferencial
(a) Verifique se a equação dada é axata.
(b) Determine a solução geral da equação.
(b) Determine a solução geral da equação.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo é equações diferenciais exatas, então vamos reescrevê-la na forma
Passo 2
Reorganizando para ter tudo igual a zero, obtemos
ou seja
Passo 3
Para verificar exactidão comparamos
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos
tal que
Integramos em
, tratando
como constante:
Passo 5
Agora exigimos
Calculamos
e comparamos a
.
Isso dá
Isso dá
logo
. Substituindo,
Passo 6
A solução geral é dada implicitamente por
isto é
Opcionalmente, isolando
:
Resposta
(a) A equação é exata porque
.
(b) A solução geral, em forma implícita, é
(b) A solução geral, em forma implícita, é