Mostre que se b mid c então operatorname m d c (a+c, b)=operatorname m d c (a, b)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrarmos que, sempre que b divide c, a gente tem
gcd(a+c,,b);=;gcd(a,,b)
O conteúdo aqui é Teoria dos Números, mais especificamente divisibilidade e Máximo Divisor Comum (MDC ou gcd). Para resolver, vamos precisar da definição de divisor, da definição de gcd e de uma propriedade fundamental: adicionar um múltiplo de um número a outro não muda seu gcd.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é divisor e gcd.
  1. Dizemos que “ b divide c” (escrevemos bmid c) se existe um inteiro k tal que
c ;=; k,b
  1. O gcd(x,y) é o maior número inteiro que divide simultaneamente x e y.
No nosso caso, bmid c significa que existe kinZ com
c = k,b

Passo 3

Agora, vamos mostrar que qualquer divisor comum de (a+c) e b também divide a e b.
Suponha que d seja um divisor comum, isto é:
d mid (a+c) e d mid b
Como c = k,b, temos a+c = a + k,b.
  • De dmid b segue dmid (k,b), porque se d divide b ele também divide todo múltiplo de b.
  • De dmid (a + k,b) e dmid (k,b), pela propriedade de divisibilidade (se d divide dois números, então divide a diferença deles), temos
d ;m|;(a + k,b);-;(k,b) Longrightarrow d mid a
Logo, d divide a e também divide b. Isso mostra que todo divisor comum de (a+c) e b também é divisor comum de a e b.

Passo 4

Agora o inverso: qualquer divisor comum de a e b divide a+c e b.
Se dmid a e dmid b, então de novo dmid (k,b). Somando a e k,b:
a+c = a + k,b,
segue que d divide a soma, pois d divide a e divide k,b. Assim dmid (a+c). E continua dividindo b.

Passo 5

Concluímos que o conjunto de divisores comuns de (a+c) e b é exatamente o mesmo que o conjunto de divisores comuns de a e b. Como o gcd é o maior elemento desse conjunto, deduzimos
gcd(a+c,,b);=;gcd(a,,b)

Resposta

gcd(a+c,,b)=gcd(a,,b), sempre que bmid c.

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