Beleza, o enunciado pede para mostrarmos que, sempre que divide , a gente tem
O conteúdo aqui é Teoria dos Números, mais especificamente divisibilidade e Máximo Divisor Comum (MDC ou ). Para resolver, vamos precisar da definição de divisor, da definição de e de uma propriedade fundamental: adicionar um múltiplo de um número a outro não muda seu .
Passo 2
Primeiro, bora lembrar o que é divisor e .
Dizemos que “ divide ” (escrevemos ) se existe um inteiro tal que
O é o maior número inteiro que divide simultaneamente e .
No nosso caso, significa que existe com
Passo 3
Agora, vamos mostrar que qualquer divisor comum de e também divide e .
Suponha que seja um divisor comum, isto é:
Como , temos .
De segue , porque se divide ele também divide todo múltiplo de .
De e , pela propriedade de divisibilidade (se divide dois números, então divide a diferença deles), temos
Logo, d divide a e também divide b. Isso mostra que todo divisor comum de (a+c) e b também é divisor comum de a e b.
Passo 4
Agora o inverso: qualquer divisor comum de a e b divide a+c e b.
Se dmid a e dmid b, então de novo dmid (k,b). Somando a e k,b:
a+c = a + k,b,
segue que d divide a soma, pois d divide a e divide k,b. Assim dmid (a+c). E continua dividindo b.
Passo 5
Concluímos que o conjunto de divisores comuns de (a+c) e b é exatamente o mesmo que o conjunto de divisores comuns de a e b. Como o gcd é o maior elemento desse conjunto, deduzimos