Seja n um número inteiro positivo maior que 1 , verifique as seguintes igualdades:
mdc(2 n+1,3 n+1)=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n>1,
gcd(2n+1,,3n+1) = 1
O conteúdo usado será o algoritmo de Euclides para máximo divisor comum.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides subtraindo múltiplos:
gcd(2n+1,,3n+1) =gcdl(2n+1,,(3n+1)-(2n+1)r) =gcd(2n+1,,n)

Passo 3

Agora observamos que
2n+1 = 2cdot n + 1
logo o resto da divisão de 2n+1 por n é 1. Assim
gcd(2n+1,,n) =gcdl(n,;(2n+1)bmod nr) =gcd(n,,1) =1

Resposta

gcd(2n+1,,3n+1)=1.

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