e pede: encontrar todas as matrizes reais quadradas de ordem 2, chamadas aqui de A, tais que
A M = M A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A incógnita é a matriz A de ordem 2 com entradas reais.
A condição a satisfazer é a igualdade matricial A M = M A.
A partir daqui vamos montar A com entradas arbitrárias e impor a condição A M = M A para obter equações para as entradas.]
Passo 2
Vamos representar a matriz A com entradas desconhecidas e reais. Escrevo
A=\left(\begin{array}{cc}x & y \\[4pt] z & w\end{array}\right),
onde x,y,z,w\in\mathbb{R}. O objetivo é achar as relações entre x,y,z,w que garantam A M = M A. Antes de calcular, lembrando a regra: o produto de duas matrizes de ordem 2 tem entrada (i,j) igual à soma dos produtos das entradas da linha i da primeira pela coluna j da segunda.]
Passo 3
Calculo A M. Multiplicando
A=\left(\begin{array}{cc}x & y \\[4pt] z & w\end{array}\right) \quad\text{por}\quad M=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right),
cada entrada de A M é:
entrada (1,1): x\cdot 0 + y\cdot 1 = y,
entrada (1,2): x\cdot(-1) + y\cdot 0 = -x,
entrada (2,1): z\cdot 0 + w\cdot 1 = w,
entrada (2,2): z\cdot(-1) + w\cdot 0 = -z.
Assim
A M = \left(\begin{array}{cc}y & -x \\[4pt] w & -z\end{array}\right).]
Passo 4
Agora calculo M A. Multiplicando
M=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right) \quad\text{por}\quad A=\left(\begin{array}{cc}x & y \\[4pt] z & w\end{array}\right),
cada entrada de M A é:
entrada (1,1): 0\cdot x + (-1)\cdot z = -z,
entrada (1,2): 0\cdot y + (-1)\cdot w = -w,
entrada (2,1): 1\cdot x + 0\cdot z = x,
entrada (2,2): 1\cdot y + 0\cdot w = y.
Logo
M A = \left(\begin{array}{cc}-z & -w \\[4pt] x & y\end{array}\right).]
Passo 5
Impondo A M = M A\), igualamos as entradas correspondentes das duas matrizes:
\[\left(\begin{array}{cc}y & -x \\[4pt] w & -z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-z & -w \\[4pt] x & y\end{array}\right).
Isto fornece o sistema de equações:
\begin{cases} y = -z,\\[4pt] -x = -w,\\[4pt] w = x,\\[4pt] -z = y. \end{cases}
As igualdades são redundantes, mas das duas não redundantes obtemos:
y = -z \qquad\text{e}\qquad x = w.
Portanto as entradas de A\] devem satisfazer \(w=x e z=-y.]
Passo 6
Substituindo essas relações em A, obtemos que toda matriz A que comuta com M tem a forma
A=\left(\begin{array}{cc}x & y \\[4pt] -y & x\end{array}\right),
com x,y\in\mathbb{R}. Para simplificar a notação, podemos renomear x=a e y=b e escrever
A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] -b & a\end{array}\right), \qquad a,b\in\mathbb{R}.]
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): tomar A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b & a\end{array}\right) e calcular A M e M A dá as mesmas matrizes, por exemplo usando que M^2=-I ou diretamente pela multiplicação (como feito nos passos anteriores). Isso confirma que toda matriz desta família realmente comuta com M. Geometricamente, essas matrizes correspondem às transformações que são combinações de uma dilatação por a e uma rotação por 90^\circ multiplicada por b — algebraicamente, formam um subespaço de dimensão 2 que é isomorfo aos números complexos a+bi.
Resposta
\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] -b & a\end{array}\right),\qquad a,b\in\mathbb{R}.]