Mostre que se a e b são primos entre si, então também são primos entre si os seguintes pares de inteiros:
a^{2} e b^{2}

Passo 1

O enunciado dá que os inteiros a e b são primos entre si, ou seja,
\gcd(a,b)=1.
A tarefa é mostrar que os inteiros a^{2} e b^{2} também são primos entre si, isto é, provar que
\gcd\bigl(a^{2},b^{2}\bigr)=1.
Informações relevantes: a e b são inteiros quaisquer e não têm nenhum fator primo em comum.

Passo 2

Vou provar a afirmação por contradição examinando possíveis divisores primos comuns a a^{2} e b^{2}. A ideia é: se um primo p divide a^{2} e b^{2}, então p divide a e b; isso contradiz \gcd(a,b)=1. Para justificar a passagem "se p\mid a^{2} então p\mid a" vou usar o lema de Euclides (uma ferramenta básica): se p é primo e p\mid xy então p\mid x ou p\mid y.

Passo 3

Prova curta do lema de Euclides (porque é o passo técnico que vamos usar). Suponha que p é primo e que p\mid xy. Se p\mid x já está ok. Caso contrário, p não divide x, logo \gcd(x,p)=1. Pelo lema de Bézout existe inteiros u e v tais que
ux+vp=1.
Multiplicando ambos os lados por y obtemos
uyx+vpy = y.
Como p\mid xy temos p\mid uyx; e claramente p\mid vpy. Portanto p divide a soma uyx+vpy, ou seja p\mid y. Assim mostramos que, quando p é primo e p\mid xy, então p\mid x ou p\mid y. Isso termina a prova do lema.

Passo 4

Agora aplique o lema ao nosso problema. Suponha que exista um primo p que divide tanto a^{2} quanto b^{2}. Então
p\mid a^{2}\quad\text{e}\quad p\mid b^{2}.
Como a^{2}=a\cdot a, pelo lema de Euclides, de p\mid a^{2} segue que p\mid a. Analogamente, de p\mid b^{2} segue que p\mid b.

Passo 5

Portanto se um primo p divide simultaneamente a^{2} e b^{2} então p divide simultaneamente a e b. Mas isso contradiz a hipótese inicial de que \gcd(a,b)=1, pois não pode existir primo comum a a e b. Logo não existe primo p que divida ambos a^{2} e b^{2} — isto significa que a^{2} e b^{2} não têm nenhum fator primo em comum.
Se não existe nenhum primo comum a a^{2} e b^{2}, então o máximo divisor comum é 1. Portanto concluímos que
\gcd\bigl(a^{2},b^{2}\bigr)=1,
ou seja, a^{2} e b^{2} são primos entre si.

Resposta

\gcd\bigl(a^{2},b^{2}\bigr)=1

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