Mostre que se a e b são inteiros primos entre si, então m d c\left(a^{2}+b^{2}, a+b\right)=1 ou 2 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros a e b tais que \gcd(a,b)=1 (isto é, a e b são primos entre si), o valor de
\gcd\big(a^{2}+b^{2},\,a+b\big)
é igual a 1 ou a 2. Informações relevantes que temos: a e b são inteiros e \gcd(a,b)=1. Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Definimos
d=\gcd\big(a^{2}+b^{2},\,a+b\big).
Vou lembrar um fato básico e muito útil: se um inteiro d divide dois números x e y, então qualquer combinação linear inteira ux+vy também é divisível por d. Em notação: se d\mid x e d\mid y então d\mid(ux+vy) para quaisquer inteiros u,v. Esse é o princípio por trás do algoritmo de Euclides — é a ferramenta que usaremos para reduzir a expressão.

Passo 3

Aplicando o princípio das combinações lineares, usemos a combinação
\big(a^{2}+b^{2}\big) - (a-b)\,(a+b).
Como d divide a^{2}+b^{2} e também divide a+b, ele divide essa combinação. Agora fazemos as contas:
\big(a^{2}+b^{2}\big) - (a-b)(a+b) = a^{2}+b^{2} - (a^{2}-b^{2}) = 2b^{2}.
Portanto temos
d \mid 2b^{2}.

Passo 4

De forma inteiramente análoga, se usarmos a combinação
\big(a^{2}+b^{2}\big) - (b-a)(a+b)
obtemos 2a^{2}. Logo também vale
d \mid 2a^{2}.
Combinando os dois resultados, d divide tanto 2a^{2} quanto 2b^{2}, então
d \mid \gcd\big(2a^{2},\,2b^{2}\big) = 2\gcd\big(a^{2},\,b^{2}\big).

Passo 5

Agora usamos um fato sobre o máximo divisor comum de potências: para quaisquer inteiros a,b,
\gcd\big(a^{2},\,b^{2}\big)=\gcd(a,b)^{2}.
Explicando rápido: se g=\gcd(a,b) então escrevemos a=gA, b=gB com \gcd(A,B)=1. Assim a^{2}=g^{2}A^{2} e b^{2}=g^{2}B^{2}, e o \gcd entre eles é g^{2}. No nosso caso g=\gcd(a,b)=1, então \gcd(a^{2},b^{2})=1. Portanto da linha anterior obtemos
d \mid 2\cdot 1,
isto é,
d \mid 2.
Como d é um divisor positivo de 2, concluímos que só há duas possibilidades: d=1 ou d=2.

Passo 6

Para completar a prova convém mostrar quando cada caso ocorre (isso ajuda a entender e a decorar o resultado).
  • Se a e b têm paridades diferentes (ou seja, um é par e o outro é ímpar), então a+b é ímpar. Como já sabemos que d só pode ser 1 ou 2, e 2 não divide um número ímpar, segue que d=1. Exemplo concreto: a=1,b=2 \gcd(1^{2}+2^{2},1+2)=\gcd(5,3)=1.
  • Se a e b são ambos ímpares, então a+b é par e, além disso, quadrados de ímpares são congruentes a 1 módulo 4, então
a^{2}+b^{2}\equiv 1+1\equiv 2 \pmod{4},
ou seja, a^{2}+b^{2} é par mas não é múltiplo de 4. Assim tanto a+b quanto a^{2}+b^{2} são pares, de modo que 2\mid d; combinando com o fato de que d\mid 2 obtemos d=2. Exemplo: a=1,b=3 \gcd(1+9,4)=\gcd(10,4)=2.
Esses exemplos confirmam que as duas possibilidades realmente ocorrem e que não há outras.

Resposta

1 ou 2

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