Calcule m d c(25,111) e m d c(-25,-100).

Passo 1

O problema pede para calcular os dois máximos divisores comuns abaixo:
\mathrm{mdc}(25,111) e \mathrm{mdc}(-25,-100).
Informações dadas: os pares de inteiros são (25,111) e (-25,-100). Não há outras restrições.

Passo 2

O que é \mathrm{mdc}? A definição: \mathrm{mdc}(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b. Duas propriedades importantes que vamos usar:
\mathrm{mdc}(a,b)=\mathrm{mdc}(|a|,|b|)
ou seja, sinais não importam — podemos trabalhar com valores absolutos; e o algoritmo de Euclides é uma maneira eficiente de calcular \mathrm{mdc}. O algoritmo de Euclides usa divisões sucessivas: se a=bq+r com 0\le r<b, então
\mathrm{mdc}(a,b)=\mathrm{mdc}(b,r).
Repetimos até o resto ser 0; o último resto não nulo é o \mathrm{mdc}.

Passo 3

Vamos aplicar o algoritmo de Euclides em \mathrm{mdc}(25,111). Primeiro, por segurança, usamos valores absolutos (mas já são positivos): \mathrm{mdc}(25,111)=\mathrm{mdc}(25,111).
Fazemos a divisão de 111 por 25:
111 = 4\cdot 25 + 11,
porque 4\cdot 25=100 e 111-100=11. Pelo algoritmo,
\mathrm{mdc}(25,111)=\mathrm{mdc}(25,11).

Passo 4

Continuamos dividindo 25 por 11:
25 = 2\cdot 11 + 3,
pois 2\cdot 11=22 e 25-22=3. Assim
\mathrm{mdc}(25,11)=\mathrm{mdc}(11,3).

Passo 5

Dividimos 11 por 3:
11 = 3\cdot 3 + 2,
pois 3\cdot 3=9 e 11-9=2. Logo
\mathrm{mdc}(11,3)=\mathrm{mdc}(3,2).

Passo 6

Dividimos 3 por 2:
3 = 1\cdot 2 + 1,
pois 1\cdot 2=2 e 3-2=1. Então
\mathrm{mdc}(3,2)=\mathrm{mdc}(2,1).

Passo 7

Dividimos 2 por 1:
2 = 2\cdot 1 + 0.
O resto é 0, então o último resto não nulo é 1. Portanto
\mathrm{mdc}(25,111)=1.
Interpretação: 25 e 111 são primos entre si (não têm divisores comuns maiores que 1).

Passo 8

Como verificação alternativa, olhe a fatoração em primos rápida: 25=5^2 e, observando que 111=3\cdot 37, não há fator 5 em 111, então não há fatores comuns e o \mathrm{mdc} é 1. Isso confirma o resultado do algoritmo de Euclides.

Passo 9

Agora calculamos \mathrm{mdc}(-25,-100). Pela propriedade dos valores absolutos,
\mathrm{mdc}(-25,-100)=\mathrm{mdc}(25,100).

Passo 10

Aplicando o algoritmo de Euclides em \mathrm{mdc}(25,100): divida 100 por 25:
100 = 4\cdot 25 + 0.
O resto é 0, então o último resto não nulo é 25. Portanto
\mathrm{mdc}(25,100)=25.

Passo 11

Verificação por fatoração: 25=5^2 e 100=2^2\cdot 5^2. O produto dos fatores comuns com o menor expoente é 5^2=25, confirmando o resultado.

Resposta

\mathrm{mdc}(25,111)=1
\mathrm{mdc}(-25,-100)=25

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