Seja um subespaço de um espaço normado . Mostre que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um subespaço M de um espaço normado X, vale
M = caplkervarphi : varphiin X^*, varphi|Mequiv0r
O conteúdo principal é usar o Teorema de Hahn–Banach (separação) e as propriedades de funcionais lineares contínuos no dual X^*.

Passo 2

Mostramos primeiro que Msubseteqcapkervarphi:varphi|Mequiv0.
Se xinM e varphiin X^* satisfaz varphi|Mequiv0, então existe uma sequência (mn)subset M com mnto x. Como varphi é contínua,
varphi(x) = limntoinftyvarphi(mn) = limntoinfty0 = 0
Logo xinkervarphi. Como isso vale para todo funcional que anula M, temos x em toda interseção.

Passo 3

Agora mostramos que
capkervarphi:varphi|Mequiv0subseteqM
Se xnotinM, então pelo Teorema de Hahn–Banach existe psiin X^* tal que
psi|Mequiv0 e psi(x)neq0. Em particular xnotinkerpsi, daí xnotincapkervarphi:varphi|Mequiv0. Isso prova a inclusão desejada.

Passo 4

Concluímos que cada conjunto está contido no outro, logo
M = caplkervarphi:varphi|Mequiv0r

Resposta

boxedM = capkervarphi : varphiin X^*, varphi|Mequiv0

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