Seja um subespaço de um espaço normado . Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um subespaço de um espaço normado , vale
O conteúdo principal é usar o Teorema de Hahn–Banach (separação) e as propriedades de funcionais lineares contínuos no dual X^*.
Passo 2
Mostramos primeiro que Msubseteqcapkervarphi:varphi|Mequiv0.
Se xinM e varphiin X^* satisfaz varphi|Mequiv0, então existe uma sequência (mn)subset M com mnto x. Como varphi é contínua,
Logo xinkervarphi. Como isso vale para todo funcional que anula M, temos x em toda interseção.
Passo 3
Agora mostramos que
capkervarphi:varphi|Mequiv0subseteqM
Se xnotinM, então pelo Teorema de Hahn–Banach existe psiin X^* tal que psi|Mequiv0 e psi(x)neq0. Em particular xnotinkerpsi, daí xnotincapkervarphi:varphi|Mequiv0. Isso prova a inclusão desejada.
Passo 4
Concluímos que cada conjunto está contido no outro, logo