7 Dadas as retas r1:(-1,0,1)+t(1,1,0), t in R e r2: s(1,-1,0), s in R. Determine a distância entre elas e a reta perpendicular comum a r1 e r2.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r1:(-1,0,1)+t(1,1,0) e r2:s(1,-1,0).
O que precisamos:
  1. A distância entre retas reversas (skew) usando produto vetorial e triple product.
  2. A reta que é comum e perpendicular a ambas (direção dada por v1times v2).

Passo 2

Sejam
P1=(-1,0,1), v1=(1,1,0),
P2=(0,0,0), v2=(1,-1,0).
Primeiro calculamos o produto vetorial:
v1times v2 = (1,1,0)times(1,-1,0) = (0,0,-2)
Seu módulo é |v1times v2|=2.
O vetor entre pontos é
,P2-P1=(1,0,-1).
A fórmula da distância é
d = l|(P2-P1)cdot(v1times v2)r||v1times v2| = l|(1,0,-1)cdot(0,0,-2)r|2 = 22 =1

Passo 3

A reta perpendicular comum tem direção paralela a v1times v2=(0,0,-2), ou seja, ao eixo z. Para achar seu ponto de interseção com cada reta, notamos que essa reta vertical exige que as projeções em xy coincidam.
Em r1:
(x,y)=(-1+t,;0+t)=(t-1,;t)
Em r2:
(x,y)=(s,;-s)
Igualando t-1=s e t=-s t=tfrac12, s=-tfrac12.
Assim os pés são
Q1=(-tfrac12,tfrac12,1) em r1 e
Q2=(-tfrac12,tfrac12,0) em r2.
Portanto a reta comum perpendicular é
ell:;(-tfrac12,tfrac12,0)+u,(0,0,1), uinR

Resposta

Distância =1.
Reta perpendicular comum:
ell:;(x,y,z)=l(-tfrac12,tfrac12,0r)+u,(0,0,1), uinR

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