Mostre que se A B=A wed>= B A=B, então A^2=A.

Passo 1

Temos matrizes quadradas A e B satisfazendo
AB = A e BA = B
O objetivo é mostrar que A é idempotente, isto é, A^2 = A. Para isso usaremos apenas a associatividade do produto de matrizes e as igualdades dadas.

Passo 2

Começamos pela igualdade AB = A e multiplicamos ambos os lados à direita por A, obtendo
(AB)A = A,A
Pela associatividade do produto, o lado esquerdo fica
A,(BA) = A^2

Passo 3

Usamos agora a segunda condição BA = B dentro de A,(BA), o que dá
A^2 = A,B

Passo 4

Finalmente, aplicamos novamente AB = A em A,B, concluindo
A^2 = A

Resposta

,A^2 = A

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