Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas A e B de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
(A+B)^2=A^2+B^2 wed>= A, B neq 0

Passo 1

O enunciado pede exemplos de matrizes quadradas reais A e B, ambas não-nulas, tais que
(A+B)^2 = A^2 + B^2
O conteúdo é produto matricial e condições de comutação.

Passo 2

Expandindo o quadrado de soma, temos
(A+B)^2 ;=; A^2 + AB + BA + B^2
Para que isso seja igual a A^2+B^2, é necessário e suficiente que
AB + BA = 0,
ou seja, A e B devem anti-comutar.

Passo 3

No caso de matrizes 1times1 (escalars) A=(a), B=(b), vale
AB + BA = 2ab,
logo 2ab=0 implica a=0 ou b=0. Assim não há solução não-trivial em dimensão 1.

Passo 4

Em dimensão 2 podemos escolher matrizes que anti-comutem. Por exemplo:
A = 1 & 0 0 & -1, B = 0 & 1 -1 & 0
Calculemos
AB = 0 & 1 1 & 0, BA = 0 & -1 -1 & 0, AB + BA = 0

Passo 5

Como AB+BA=0, segue diretamente
(A+B)^2 = A^2 + B^2
Além disso Aneq0 e Bneq0, satisfazendo todas as condições.

Resposta

Um exemplo concreto é
A = 1 & 0 0 & -1, B = 0 & 1 -1 & 0,
que satisfaz (A+B)^2 = A^2 + B^2 com A,Bneq0.

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