Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas
e
de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
Passo 1
O enunciado pede exemplos de matrizes quadradas reais
e
, ambas não-nulas, tais que
O conteúdo é produto matricial e condições de comutação.
Passo 2
Expandindo o quadrado de soma, temos
Para que isso seja igual a
, é necessário e suficiente que
ou seja,
e
devem anti-comutar.
Passo 3
No caso de matrizes
(escalars)
,
, vale
logo
implica
ou
. Assim não há solução não-trivial em dimensão
.
Passo 4
Em dimensão
podemos escolher matrizes que anti-comutem. Por exemplo:
Calculemos
Passo 5
Como
AB+BA=0 , segue diretamente
Além disso
Aneq0 e
Bneq0 , satisfazendo todas as condições.
Resposta
Um exemplo concreto é
que satisfaz
(A+B)^2 = A^2 + B^2 com
A,Bneq0 .