Mostre que
, quaisquer que sejam
.
Passo 1
O enunciado dá três números quaisquer
e pede para mostrar que o máximo divisor comum de
e de
, ou seja
, divide
.
Em outras palavras, devemos provar que
Em outras palavras, devemos provar que
Passo 2
Lembrete útil (propriedade fundamental de divisibilidade). Se um número
divide dois inteiros
e
, então
divide qualquer combinação linear inteira desses números, isto é, para quaisquer inteiros
vale
Prova rápida dessa propriedade: se
e
então
, portanto é múltiplo de
.
Passo 3
Seja
. Pela definição de máximo divisor comum,
divide
e
divide
. Portanto podemos aplicar a propriedade do Passo 2 às quantidades
e
.
Passo 4
Vamos formar uma combinação linear conveniente das duas quantidades cujo valor seja exatamente
. Observe que
Esta é uma combinação inteira das duas quantidades: multiplicamos
por
e somamos a
.
Passo 5
Como
divide
e também divide
, pela propriedade do Passo 2
divide qualquer combinação linear delas; em particular
divide
Logo
.
Passo 6
Isto prova exatamente o que se pedia: o máximo divisor comum
divide
para quaisquer
. Como ilustração rápida, se
,
,
então
,
e
, conforme a propriedade.