Mostre que \left(a, a^{2}+n a+b\right) \mid b, quaisquer que sejam a, b, n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado dá três números quaisquer a,b,n\in\mathbb{N} e pede para mostrar que o máximo divisor comum de a e de a^{2}+n a+b, ou seja (a,a^{2}+na+b), divide b.
Em outras palavras, devemos provar que
(a,a^{2}+na+b)\mid b.

Passo 2

Lembrete útil (propriedade fundamental de divisibilidade). Se um número d divide dois inteiros x e y, então d divide qualquer combinação linear inteira desses números, isto é, para quaisquer inteiros s,t vale
d\mid x \quad\text{e}\quad d\mid y \quad\Longrightarrow\quad d\mid (s x + t y).
Prova rápida dessa propriedade: se x=d x' e y=d y' então s x + t y = d(s x' + t y'), portanto é múltiplo de d.

Passo 3

Seja d=(a,a^{2}+na+b). Pela definição de máximo divisor comum, d divide a e d divide a^{2}+na+b. Portanto podemos aplicar a propriedade do Passo 2 às quantidades a e a^{2}+na+b.

Passo 4

Vamos formar uma combinação linear conveniente das duas quantidades cujo valor seja exatamente b. Observe que
(a^{2}+na+b) - a\bigl(a+n\bigr) = b.
Esta é uma combinação inteira das duas quantidades: multiplicamos a por -(a+n) e somamos a a^{2}+na+b.

Passo 5

Como d divide a^{2}+na+b e também divide a, pela propriedade do Passo 2 d divide qualquer combinação linear delas; em particular d divide
(a^{2}+na+b) - a\bigl(a+n\bigr)=b.
Logo d\mid b.

Passo 6

Isto prova exatamente o que se pedia: o máximo divisor comum (a,a^{2}+na+b) divide b para quaisquer a,b,n\in\mathbb{N}. Como ilustração rápida, se a=6, n=1, b=8 então a^{2}+na+b=50, (6,50)=2 e 2\mid8, conforme a propriedade.

Resposta

(a,a^{2}+na+b)\mid b

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