Sejam
dois números naturais. Mostre que se
é par, então
é ímpar. Vale a recíproca?
Passo 1
O enunciado dá dois números naturais
e
e pede duas coisas:
- Mostrar que se
é par então é ímpar. - Responder se a recíproca vale (isto é, se
ímpar implica que é par).
Informações relevantes fornecidas:
-
denota o máximo divisor comum (mdc) de e . - A propriedade de ser par significa ser divisível por
; ímpar significa não ser divisível por .
Nada mais será assumido aqui; na próxima etapa vamos definir com clareza as notações e começar a prova passo a passo.
Passo 2
Primeiro passo técnico padrão: escrevemos
. Então existem inteiros naturais
e
tais que
Isto é apenas dividir
e
pelo seu mdc. Uma propriedade importante e fácil de provar é que
ou seja,
e
são primos entre si (não têm nenhum divisor comum maior que
). Vou explicar por que isto é verdadeiro, porque é usada logo adiante.
Prova curta de que
. Seja
. Então
divide
e
. Multiplicando por
obtemos que
divide
e
; logo
é um divisor comum de
e
. Como
é o maior divisor comum de
e
, segue que
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
. Como
é inteiro positivo,
. Portanto
. Isso é tudo.
Passo 3
Agora interpretamos o enunciado na notação reduzida:
é exatamente
e
é
. O que precisamos provar é: se
é par então
é ímpar, dado que
.
Vou lembrar a definição de par/ímpar de forma explícita: um inteiro
é par se existe inteiro
tal que
. Um inteiro
é ímpar se não existe tal inteiro
; equivalentemente,
não divide
.
Partimos supondo que
é par. Então existe inteiro
tal que
Passo 4
Prova por contradição do objetivo: suponha, para contradizer, que
também seja par. Então existe inteiro
tal que
Logo
e
têm ambos o fator
. Então
divide tanto
quanto
, isto é,
é um divisor comum de
e
. Assim o máximo divisor comum
seria pelo menos
, ou seja,
.
Mas no Passo 2 já mostramos que
. Isso é uma contradição: não pode ser ao mesmo tempo
e
. Portanto a suposição de que
é par é falsa. Assim
não é par, isto é,
é ímpar.
Passo 5
Resumo lógico do argumento (para usar na prova de exame): escrever
,
com
e
. Se
é par então
. Se também
então
divides both
and
, contradizendo
. Portanto
, isto é,
é ímpar. Isso prova a afirmação pedida.
Uma forma curta e elegante de dizer a mesma coisa: como
e
são primos entre si, eles não podem ter um mesmo primo divisor; se
divide
então
não pode dividir
, logo
é ímpar.
Passo 6
Agora a recíproca: a afirmação recíproca seria “se
é ímpar então
é par”. Pergunta: isso é verdadeiro?
A resposta é NÃO; a recíproca não vale em geral. Para ver isso basta um contraexemplo simples. Tome, por exemplo,
Então
. Temos
Aqui
é ímpar, mas
não é par (é ímpar). Portanto a recíproca é falsa.
Observação adicional (útil para entender o cenário): a propriedade verdadeira é simétrica em uma direção: se
é par então
é ímpar, e também, simetricamente, se
é par então
é ímpar. O que não é verdade é que “um deles ser ímpar” força o outro a ser par, porque ambos podem ser ímpares (como no contraexemplo).
Resposta
A implicação é verdadeira: se
é par então
é ímpar.
A recíproca não vale; por exemplo, para tem-se
ímpar e
ímpar.
A recíproca não vale; por exemplo, para