Sejam a e b dois números naturais. Mostre que se \frac{a}{(a, b)} é par, então \frac{b}{(a, b)} é ímpar. Vale a recíproca?

Passo 1

O enunciado dá dois números naturais a e b e pede duas coisas:
  • Mostrar que se \dfrac{a}{(a,b)} é par então \dfrac{b}{(a,b)} é ímpar.
  • Responder se a recíproca vale (isto é, se \dfrac{b}{(a,b)} ímpar implica que \dfrac{a}{(a,b)} é par).
Informações relevantes fornecidas:
  • (a,b) denota o máximo divisor comum (mdc) de a e b.
  • A propriedade de ser par significa ser divisível por 2; ímpar significa não ser divisível por 2.
    Nada mais será assumido aqui; na próxima etapa vamos definir com clareza as notações e começar a prova passo a passo.

Passo 2

Primeiro passo técnico padrão: escrevemos d=(a,b). Então existem inteiros naturais A e B tais que
a = dA,\qquad b = dB.
Isto é apenas dividir a e b pelo seu mdc. Uma propriedade importante e fácil de provar é que
(A,B)=1,
ou seja, A e B são primos entre si (não têm nenhum divisor comum maior que 1). Vou explicar por que isto é verdadeiro, porque é usada logo adiante.
Prova curta de que (A,B)=1. Seja h=(A,B). Então h divide A e B. Multiplicando por d obtemos que dh divide dA=a e dB=b; logo dh é um divisor comum de a e b. Como d é o maior divisor comum de a e b, segue que dh\le d. Dividindo ambos os lados por d obtemos h\le 1. Como h é inteiro positivo, h=1. Portanto (A,B)=1. Isso é tudo.

Passo 3

Agora interpretamos o enunciado na notação reduzida: \dfrac{a}{(a,b)} é exatamente A e \dfrac{b}{(a,b)} é B. O que precisamos provar é: se A é par então B é ímpar, dado que (A,B)=1.
Vou lembrar a definição de par/ímpar de forma explícita: um inteiro x é par se existe inteiro k tal que x=2k. Um inteiro y é ímpar se não existe tal inteiro k; equivalentemente, 2 não divide y.
Partimos supondo que A é par. Então existe inteiro k tal que
A = 2k.

Passo 4

Prova por contradição do objetivo: suponha, para contradizer, que B também seja par. Então existe inteiro m tal que
B = 2m.
Logo A e B têm ambos o fator 2. Então 2 divide tanto A quanto B, isto é, 2 é um divisor comum de A e B. Assim o máximo divisor comum (A,B) seria pelo menos 2, ou seja, (A,B)\ge 2.
Mas no Passo 2 já mostramos que (A,B)=1. Isso é uma contradição: não pode ser ao mesmo tempo =1 e \ge 2. Portanto a suposição de que B é par é falsa. Assim B não é par, isto é, B é ímpar.

Passo 5

Resumo lógico do argumento (para usar na prova de exame): escrever a=dA, b=dB com d=(a,b) e (A,B)=1. Se A é par então 2\mid A. Se também 2\mid B então 2 divides both A and B, contradizendo (A,B)=1. Portanto 2\nmid B, isto é, B é ímpar. Isso prova a afirmação pedida.
Uma forma curta e elegante de dizer a mesma coisa: como A e B são primos entre si, eles não podem ter um mesmo primo divisor; se 2 divide A então 2 não pode dividir B, logo B é ímpar.

Passo 6

Agora a recíproca: a afirmação recíproca seria “se \dfrac{b}{(a,b)} é ímpar então \dfrac{a}{(a,b)} é par”. Pergunta: isso é verdadeiro?
A resposta é NÃO; a recíproca não vale em geral. Para ver isso basta um contraexemplo simples. Tome, por exemplo,
a=1,\qquad b=3.
Então (a,b)=1. Temos
\frac{a}{(a,b)}=\frac{1}{1}=1\quad\text{(ímpar)},\qquad \frac{b}{(a,b)}=\frac{3}{1}=3\quad\text{(ímpar)}.íí
Aqui \dfrac{b}{(a,b)} é ímpar, mas \dfrac{a}{(a,b)} não é par (é ímpar). Portanto a recíproca é falsa.
Observação adicional (útil para entender o cenário): a propriedade verdadeira é simétrica em uma direção: se \dfrac{a}{(a,b)} é par então \dfrac{b}{(a,b)} é ímpar, e também, simetricamente, se \dfrac{b}{(a,b)} é par então \dfrac{a}{(a,b)} é ímpar. O que não é verdade é que “um deles ser ímpar” força o outro a ser par, porque ambos podem ser ímpares (como no contraexemplo).

Resposta

A implicação é verdadeira: se \dfrac{a}{(a,b)} é par então \dfrac{b}{(a,b)} é ímpar.
A recíproca não vale; por exemplo, para a=1,\\ b=3 tem-se \dfrac{b}{(a,b)}=3 ímpar e \dfrac{a}{(a,b)}=1 ímpar.

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