Mostre que uma base B de um espaço vetorial de dimensão finita V é um conjunto gerador minimal. Em outras palavras, se B tem n vetores, então nenhum conjunto com menos de n vetores pode gerar V.
Mostre também que a base B é um conjunto linearmente independente maximal, no sentido que qualquer conjunto com mais de n vetores não pode ser L.I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades de uma base B de um espaço vetorial V de dimensão finita n:
  1. B é um conjunto gerador minimal, ou seja, não existe nenhum conjunto com menos de n vetores que gere V.
  2. B é um conjunto linearmente independente maximal, ou seja, não existe nenhum conjunto com mais de n vetores que seja L.I. em V.
    Para isso vamos usar os fatos padrão sobre dimensão: se um conjunto tem m vetores então a dimensão do subespaço que eles geram é no máximo m, e se um conjunto é L.I. então a dimensão do subespaço que ele gera é exatamente o número de vetores desse conjunto.

Passo 2

Suponha que exista um conjunto com vetores que gere , isto é, , e que . Então o subespaço gerado por tem dimensão
Mas como , temos , o que contradiz . Logo não pode existir conjunto gerador com menos de vetores. Isso mostra que , tendo vetores, é um gerador minimal.

Passo 3

Em palavras: qualquer conjunto que gere V precisa ter pelo menos tantas “direções” quantas a dimensão de V. Como B já atinge essa quantidade n, não dá para tirar nenhum vetor sem perder a geração.

Passo 4

Agora mostremos a maximalidade em independência linear. Seja um conjunto L.I. com vetores. Como qualquer conjunto L.I. gera um subespaço de dimensão igual ao número de vetores, temos
Como , decorre
Assim não pode haver conjunto L.I. com mais de vetores em .

Passo 5

Em outras palavras: toda vez que você tenta colocar mais de n vetores L.I. em V, forçosamente eles passam a ser L.D., porque não cabe “mais direções” do que a dimensão n. Como B já tem exatamente n vetores L.I., não é possível acrescentar nenhum outro vetor sem perder a independência.

Resposta

Mostramos que uma base B de dimensão n não pode ser substituída por um gerador com menos de n vetores (minimalidade) e tampouco ampliada para um conjunto L.I. com mais de n vetores (maximalidade). Portanto B é simultaneamente gerador minimal e conjunto L.I. maximal em V.

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