Mostre que uma base
de um espaço vetorial de dimensão finita
é um conjunto gerador minimal. Em outras palavras, se
tem
vetores, então nenhum conjunto com menos de
vetores pode gerar
.
Mostre também que a base
é um conjunto linearmente independente maximal, no sentido que qualquer conjunto com mais de
vetores não pode ser L.I.
Mostre também que a base
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades de uma base
de um espaço vetorial
de dimensão finita
:
-
é um conjunto gerador minimal, ou seja, não existe nenhum conjunto com menos de vetores que gere . -
é um conjunto linearmente independente maximal, ou seja, não existe nenhum conjunto com mais de vetores que seja L.I. em .
Para isso vamos usar os fatos padrão sobre dimensão: se um conjunto temvetores então a dimensão do subespaço que eles geram é no máximo , e se um conjunto é L.I. então a dimensão do subespaço que ele gera é exatamente o número de vetores desse conjunto.
Passo 2
Suponha que exista um conjunto
com
vetores que gere
, isto é, , e que
. Então o subespaço gerado por
tem dimensão
Mas como , temos , o que contradiz
. Logo não pode existir conjunto gerador com menos de
vetores. Isso mostra que
, tendo
vetores, é um gerador minimal.
Passo 3
Em palavras: qualquer conjunto que gere
precisa ter pelo menos tantas “direções” quantas a dimensão de
. Como
já atinge essa quantidade
, não dá para tirar nenhum vetor sem perder a geração.
Passo 4
Agora mostremos a maximalidade em independência linear. Seja
um conjunto L.I. com
vetores. Como qualquer conjunto L.I. gera um subespaço de dimensão igual ao número de vetores, temos
Como , decorre
Assim não pode haver conjunto L.I. com mais de
vetores em
.
Passo 5
Em outras palavras: toda vez que você tenta colocar mais de
vetores L.I. em
, forçosamente eles passam a ser L.D., porque não cabe “mais direções” do que a dimensão
. Como
já tem exatamente
vetores L.I., não é possível acrescentar nenhum outro vetor sem perder a independência.
Resposta
Mostramos que uma base
de dimensão
não pode ser substituída por um gerador com menos de
vetores (minimalidade) e tampouco ampliada para um conjunto L.I. com mais de
vetores (maximalidade). Portanto
é simultaneamente gerador minimal e conjunto L.I. maximal em
.