1. Mostre que se H é subespaço de V e dim H=dim V, então H=V.

Passo 1

O enunciado diz que H é um subespaço de V e que
dim H = dim V
O conteúdo envolvido é teoria de dimensão em espaços vetoriais e o que vamos usar é a caracterização de base: um conjunto de vetores em V é base se, e somente se, for linearmente independente e tiver cardinalidade igual a dim V.

Passo 2

Como dim H = dim V = n, tome uma base de H
BH = h1, h2, dots, hn
Por definição de subespaço, cada hi também pertence a V. Além disso, BH é linearmente independente em H e, portanto, também em V.

Passo 3

Em V, qualquer conjunto linearmente independente com n vetores, onde n = dim V, forma uma base de V. Logo BH é base de V. Isso implica que
span(BH) = V

Passo 4

Por outro lado, como BHsubseteq H, temos
span(BH)subseteq H
Combinando as duas inclusões,
V = span(BH)subseteq H subseteq V,
logo H = V.

Resposta

Assim, mostramos que se H é subespaço de V e dim H = dim V, então H = V.

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