- Mostre que se
é subespaço de
e
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um subespaço de
e que
O conteúdo envolvido é teoria de dimensão em espaços vetoriais e o que vamos usar é a caracterização de base: um conjunto de vetores em
é base se, e somente se, for linearmente independente e tiver cardinalidade igual a
.
Passo 2
Como
, tome uma base de
Por definição de subespaço, cada
também pertence a
. Além disso,
é linearmente independente em
e, portanto, também em
.
Passo 3
Em
, qualquer conjunto linearmente independente com
vetores, onde
, forma uma base de
. Logo
é base de
. Isso implica que
Passo 4
Por outro lado, como
, temos
Combinando as duas inclusões,
logo
.
Resposta
Assim, mostramos que se
é subespaço de
e
, então
.