Mostre que a base canônica de
, não é ortonormal em relação ao produto interno dado por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a base canônica
do espaço
não é ortonormal quando equipamos esse espaço com o produto interno
Para isso, precisamos lembrar que uma base é ortonormal se, e somente se, seus vetores (a) são mutuamente ortogonais e (b) têm norma igual a
.
Passo 2
Vamos verificar a ortogonalidade, ou seja, calcular
,
e
. Se algum desses for diferente de zero, a base não é ortogonal e, portanto, tampouco ortonormal.
Passo 3
Cálculo dos produtos internos:
Como
, já temos que a base não é ortogonal.
Passo 4
Mesmo se quiséssemos verificar a normalização, bastaria calcular a norma de
ou de
. Por exemplo,
Logo
não está normalizado.
Resposta
A base
não é ortonormal porque, por exemplo,
(não é ortogonal) e
(não é normalizada).