Mostre que a base canônica de P2(R), B=1, t, t^2, não é ortonormal em relação ao produto interno dado por
lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a base canônica
B=1,;t,;t^2
do espaço ,P2(R) não é ortonormal quando equipamos esse espaço com o produto interno
lang<= f,grang<==integral0^1f(t),g(t),dt
Para isso, precisamos lembrar que uma base é ortonormal se, e somente se, seus vetores (a) são mutuamente ortogonais e (b) têm norma igual a 1.

Passo 2

Vamos verificar a ortogonalidade, ou seja, calcular lang<= 1,trang<=, lang<= 1,t^2rang<= e lang<= t,t^2rang<=. Se algum desses for diferente de zero, a base não é ortogonal e, portanto, tampouco ortonormal.

Passo 3

Cálculo dos produtos internos:
lang<= 1,trang<==integral0^11cdot t,dt =[t^22]0^1 =12,
lang<= 1,t^2rang<==integral0^11cdot t^2,dt =[t^33]0^1 =13,
lang<= t,t^2rang<==integral0^1tcdot t^2,dt =integral0^1t^3,dt =[t^44]0^1 =14
Como lang<= 1,trang<==tfrac12neq 0, já temos que a base não é ortogonal.

Passo 4

Mesmo se quiséssemos verificar a normalização, bastaria calcular a norma de t ou de t^2. Por exemplo,
|t| =raizlang<= t,trang<= =raizintegral0^1t^2,dt =raiz13 neq 1
Logo t não está normalizado.

Resposta

A base B=1,t,t^2 não é ortonormal porque, por exemplo, lang<= 1,trang<==tfrac12neq0 (não é ortogonal) e |t|=raiz1/3neq1 (não é normalizada).

Exercícios relacionados