Seja B1=b1, b2, b3 uma base para o R^3. Seja v1=[lll1 & -1 & 1]^prime a representação do vetor x in R^3 nesta base. Construa a matriz mudança de base e obtenha a representação de x nesta nova base, dada por B2=b2,-b1, 2 b3+b1

Passo 1

O enunciado nos dá a base B1=b1,b2,b3 de R^3, o vetor x cuja representação nessa base é
[x]B1 = v1 = 1-11,
e uma nova base
B2=,b2,,-b1,;2b3+b1.
Queremos construir a matriz de mudança de base entre B2 e B1 e, em seguida, obter [x]B2.

Passo 2

Expressamos os vetores de B2 em coordenadas de B1:
b2 = 010, -,b1 = -100, 2,b3 + b1 = 102
Como a matriz de mudança de base de B2 para B1, digamos P, tem colunas formadas por essas coordenadas, temos
P = 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 ,
de modo que
[x]B1 = P,[x]B2

Passo 3

Seja
[x]B2 = alphabetagamma
Então a relação de mudança de base gera o sistema
1-11 = 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 alphabetagamma

Passo 4

Dos três componentes obtemos
-,beta + gamma = 1, alpha = -1, 2,gamma = 1
Da segunda equação vem alpha=-1. Da terceira gamma=tfrac12. Substituindo em -beta+gamma=1 obtemos
-,beta + tfrac12 = 1 Longrightarrow beta = -tfrac12

Resposta

[x]B2 = -1 -tfrac12 tfrac12

Exercícios relacionados