Mostre que
\begin{gathered} \left.\left.\left.T=\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{p, n}, V=\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{s, n}, \mu=\frac{\partial H}{\partial n}\right)_{s, p} \\\ \left.\left.\left.p=-\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T, n}, S=-\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V, n}, \mu=\frac{\partial F}{\partial n}\right)_{T, V} \\\ \left.\left.\left.V=\frac{\partial G}{\partial p}\right)_{T, n}, S=-\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{p, n}, \mu=\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{T, p} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, a partir das definições de energia de Gibbs G, energia livre de Helmholtz F e entalpia H, seus diferenciais levam a expressões nas quais as derivadas parciais em relação às variáveis naturais coincidem com T, p, V, S e \mu conforme indicado. Vamos usar as transformações de Legendre e a Primeira Lei da Termodinâmica para um sistema simples com número de partículas n.

Passo 2

Definimos a entalpia por
H = U + p\,V.
Diferenciando,
dH = dU + p\,dV + V\,dp.
Pela Primeira Lei para um sistema simples com n partículas,
dU = T\,dS - p\,dV + \mu\,dn.
Substituindo em dH resulta
dH = \bigl(T\,dS - p\,dV + \mu\,dn\bigr) + p\,dV + V\,dp = T\,dS + V\,dp + \mu\,dn.
Como H=H(S,p,n), identificamos
\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{p,n}=T,\quad \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{S,n}=V,\quad \left(\frac{\partial H}{\partial n}\right)_{S,p}=\mu.

Passo 3

Definimos a energia livre de Helmholtz por
F = U - T\,S.
Diferenciando,
dF = dU - T\,dS - S\,dT.
Usando novamente dU = T\,dS - p\,dV + \mu\,dn, temos
dF = (T\,dS - p\,dV + \mu\,dn) - T\,dS - S\,dT = -p\,dV - S\,dT + \mu\,dn.
Como F=F(T,V,n), segue-se
\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,n}=-p \;\Longrightarrow\; p=-\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,n},
\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,n}=-S \;\Longrightarrow\; S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,n},
\left(\frac{\partial F}{\partial n}\right)_{T,V}=\mu.

Passo 4

Definimos a energia de Gibbs por
G = H - T\,S = U + p\,V - T\,S.
Diferenciando,
dG = dH - T\,dS - S\,dT.
Como já determinamos dH = T\,dS + V\,dp + \mu\,dn, obtemos
dG = (T\,dS + V\,dp + \mu\,dn) - T\,dS - S\,dT = V\,dp - S\,dT + \mu\,dn.
Como G=G(T,p,n), fica
\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_{T,n}=V,\quad \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{p,n}=-S,\quad \left(\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{T,p}=\mu.

Resposta

\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{p,n}=T,\quad \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{S,n}=V,\quad \left(\frac{\partial H}{\partial n}\right)_{S,p}=\mu,
p=-\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,n},\quad S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,n},\quad \left(\frac{\partial F}{\partial n}\right)_{T,V}=\mu,
\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_{T,n}=V,\quad \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{p,n}=-S,\quad \left(\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{T,p}=\mu.

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