Qual a variação de entropia do universo quando:
(b) 15 g de água a 20^{\circ} \mathrm{C} misturam-se a 60 g de um determinado metal com calor específico с M E T A L=0,107 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}, a 120^{\circ} \mathrm{C}?

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia do universo quando 15 g de água a 20^\circ\mathrm{C} misturam-se a 60 g de metal a 120^\circ\mathrm{C}, com c_{\mathrm{metal}}=0,107\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}{}^\circ\mathrm{C}. Como o sistema (águ a+metal) está isolado, a variação de entropia do universo é
\Delta S_{\mathrm{univ}}=\Delta S_{\mathrm{água}}+\Delta S_{\mathrm{metal}}.á
Para isso precisamos ( 1) determinar a temperatura de equilíbrio T_f e ( 2) calcular cada \Delta S=m\,c\ln\bigl(T_f/T_i\bigr).

Passo 2

Determinar T_f pela conservação de energia (calor perdido pelo metal = calor ganho pela água):
m_{\mathrm{metal}}\,c_{\mathrm{metal}}\,\bigl(T_{i,\mathrm{metal}}-T_f\bigr) = m_{\mathrm{água}}\,c_{\mathrm{água}}\,\bigl(T_f-T_{i,\mathrm{água}}\bigr).ááá
Substituindo m_{\mathrm{metal}}=60\\ \mathrm g, c_{\mathrm{metal}}=0,107, T_{i,\mathrm{metal}}=393\\ \mathrm K ( 120+273), m_{\mathrm{água}}=15\\ \mathrm gá, c_{\mathrm{água}}=1á, T_{i,\mathrm{água}}=293\\ \mathrm Ká ( 20+273):
60\cdot0,107\,(393-T_f)=15\cdot1\,(T_f-293).
Isto é
6,42\,(393-T_f)=15\,(T_f-293) \;\Longrightarrow\; 2522,06-6,42\,T_f=15\,T_f-4395,
2522,06+4395=21,42\,T_f \;\Longrightarrow\; T_f=\frac{6917,06}{21,42}\approx323\\ \mathrm K
ou seja T_f\approx50^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular \Delta S_{\mathrm{água}}á como processo reversível de aquecimento de 293\\ \mathrm K a 323\\ \mathrm K:
\Delta S_{\mathrm{água}} =m_{\mathrm{água}}\,c_{\mathrm{água}} \ln\!\biggl(\frac{T_f}{T_{i,\mathrm{água}}}\biggr) =15\cdot1\cdot\ln\!\biggl(\frac{323}{293}\biggr).áááá
Numericamente \ln(323/293)\approx0,0976, logo
\Delta S_{\mathrm{água}}\approx15\times0,0976=1,464\\ \mathrm{cal/K}.á

Passo 4

Calcular \Delta S_{\mathrm{metal}} como resfriamento de 393\\ \mathrm K a 323\\ \mathrm K:
\Delta S_{\mathrm{metal}} =m_{\mathrm{metal}}\,c_{\mathrm{metal}} \ln\!\biggl(\frac{T_f}{T_{i,\mathrm{metal}}}\biggr) =60\cdot0,107\cdot\ln\!\biggl(\frac{323}{393}\biggr).
Temos \ln(323/393)\approx-0,1953 e 60\cdot0,107=6,42, portanto
\Delta S_{\mathrm{metal}}\approx6,42\times(-0,1953)=-1,253\\ \mathrm{cal/K}.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
\Delta S_{\mathrm{univ}} =1,464+(-1,253) =0,211\\ \mathrm{cal/K}.

Resposta

A variação de entropia do universo é aproximadamente 0,21\\ \mathrm{cal/K}.

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