(a) Prove que a equação \mathrm{dS}=0 define as linhas adiabáticas de um gás. (b) Prove que a entropia de um gás ideal é
S=n C_{V} \ln T+n R \ln V+a
sendo a uma constante de integração.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre entropia S de um gás:
  1. Mostrar que a condição \mathrm{d}S=0 caracteriza um processo adiabático.
  2. Para um gás ideal, calcular explicitamente S como função de T e V.
    Vamos usar a primeira lei da termodinâmica em sua forma para processos reversíveis e a definição termodinâmica de entropia
\mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\rm rev}}{T}.

Passo 2

Relembremos a primeira lei para um processo reversível:
\mathrm{d}U=\delta Q_{\rm rev}-p\,\mathrm{d}V.
Isolando \delta Q_{\rm rev} e dividindo por T obtemos a definição diferencial de entropia:
\mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\rm rev}}{T} =\frac{\mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V}{T}.

Passo 3

Num processo adiabático reversível temos \delta Q_{\rm rev}=0. Pela definição acima segue imediatamente
\mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\rm rev}}{T}=0.
Ou seja, adiabático reversível \Longleftrightarrow isoentálpico ( \mathrm{d}S=0). Logo as curvas de S= const são exatamente as curvas adiabáticas.

Passo 4

Agora para o gás ideal usamos que
\mathrm{d}U = n\,C_{V}\,\mathrm{d}T, \quad pV = nRT \;\Longrightarrow\; p=\frac{nRT}{V}.
Substituindo em
\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V}{T}
vem
\mathrm{d}S = \frac{n\,C_{V}\,\mathrm{d}T}{T} +\frac{nRT}{V}\,\frac{\mathrm{d}V}{T} = n\,C_{V}\,\frac{\mathrm{d}T}{T} + n\,R\,\frac{\mathrm{d}V}{V}.

Passo 5

Integrando a diferencial exata entre um estado de referência e (T,V) obtemos
S(T,V) = \int n\,C_{V}\,\frac{\mathrm{d}T}{T} + \int n\,R\,\frac{\mathrm{d}V}{V} = n\,C_{V}\ln T + n\,R\ln V + a,
onde a é a constante de integração, fixada pela escolha do estado de referência.

Resposta

S = n\,C_{V}\,\ln T \;+\; n\,R\,\ln V \;+\; a.

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