(a) Prove que a equação
define as linhas adiabáticas de um gás. (b) Prove que a entropia de um gás ideal é
sendo a uma constante de integração.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre entropia
de um gás:
- Mostrar que a condição
caracteriza um processo adiabático. - Para um gás ideal, calcular explicitamente
como função de e .
Vamos usar a primeira lei da termodinâmica em sua forma para processos reversíveis e a definição termodinâmica de entropia
Passo 2
Relembremos a primeira lei para um processo reversível:
Isolando
e dividindo por
obtemos a definição diferencial de entropia:
Passo 3
Num processo adiabático reversível temos
. Pela definição acima segue imediatamente
Ou seja, adiabático reversível
isoentálpico (
). Logo as curvas de
const são exatamente as curvas adiabáticas.
Passo 4
Agora para o gás ideal usamos que
Substituindo em
vem
Passo 5
Integrando a diferencial exata entre um estado de referência e
obtemos
onde
é a constante de integração, fixada pela escolha do estado de referência.