Mostre que se
c
, cntăo a integral a seguir é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral
converge, dado que
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comporta essa função dentro dos intervalos de integração, tanto perto de zero quanto no infinito. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e comparar com integrais de funções mais simples para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a análise:
Isso nos ajuda a analisar o comportamento da função perto de zero e no infinito separadamente.
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte:
.
Quando
está perto de 0,
tende a 0, então
. Portanto, a função se comporta aproximadamente como
.
Sabemos que a integral
converge se
, o que está de acordo com a condição dada.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
.
Quando
tende ao infinito,
domina, então
. Portanto, a função se comporta aproximadamente como
.
A integral
converge se o expoente
. Isso significa que
, que também está conforme a condição dada.
Passo 5
Como ambas as partes da integral original convergem sob as condições
e
, concluímos que a integral total
também é convergente nessas condições.
Resposta
A integral
é convergente quando
e
.