Mostre que se C é um conjunto finito, então R backslash C é aberto.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um conjunto finito CsubsetR e queremos mostrar que o complemento Rsetminus C é um conjunto aberto em R. Vamos usar a definição de aberto na reta: um conjunto é aberto se, para cada ponto nele, existe um intervalo aberto centrado nesse ponto que fique todo dentro do conjunto.

Passo 2

Seja xinRsetminus C. Como x não pertence a C e C é finito, as distâncias di=|x - ci| para cada ciin C são todas positivas e há um mínimo positivo
de 0
Definimos então
varepsilon = de
Isso nos dá um raio positivo para uma vizinhança de x.

Passo 3

Agora mostramos que o intervalo aberto
B(x,varepsilon)=yinR:|y-x|
fica totalmente dentro de Rsetminus C. De fato, se existisse algum yin B(x,varepsilon) tal que y=cjin C, então teríamos
|x - cj| = |x - y| < varepsilon = de
o que contradiz o fato de de ser a menor distância de x a qualquer ponto de C. Logo
B(x,varepsilon) cap C = emptyset
e, consequentemente,
B(x,varepsilon) subset Rsetminus C

Passo 4

Como mostramos que para cada xinRsetminus C existe um intervalo aberto centrado em x contido em Rsetminus C, concluímos, pela definição de aberto, que Rsetminus C é um conjunto aberto.

Resposta

Rsetminus C é aberto.

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