Mostre que se
é um conjunto finito, então
é aberto.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um conjunto finito
e queremos mostrar que o complemento
é um conjunto aberto em
. Vamos usar a definição de aberto na reta: um conjunto é aberto se, para cada ponto nele, existe um intervalo aberto centrado nesse ponto que fique todo dentro do conjunto.
Passo 2
Seja
. Como
não pertence a
e
é finito, as distâncias
para cada
são todas positivas e há um mínimo positivo
Definimos então
Isso nos dá um raio positivo para uma vizinhança de
.
Passo 3
Agora mostramos que o intervalo aberto
fica totalmente dentro de
. De fato, se existisse algum
tal que
, então teríamos
o que contradiz o fato de
ser a menor distância de
a qualquer ponto de
. Logo
e, consequentemente,
Passo 4
Como mostramos que para cada
existe um intervalo aberto centrado em
contido em
, concluímos, pela definição de aberto, que
é um conjunto aberto.