Mostre que a interseção de vários conjuntos abertos não necessariamente é um conjunto aberto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao contrário da interseção finita, a interseção de uma coleção infinita de conjuntos abertos em geral pode não ser aberta. O conteúdo aqui é topologia básica em ℝ, e vamos precisar usar a definição de conjunto aberto no espaço métrico (ℝ, |·|).
Passo 2
Vamos considerar para cada n∈ℕ o conjunto aberto
Como cada U_n é um intervalo aberto em ℝ, pela definição de aberto, para todo x∈U_n podemos encontrar ε>0 tal que (x−ε,x+ε)⊂U_n. Portanto, cada U_n é aberto.
Passo 3
Agora, vamos calcular a interseção infinita desses conjuntos:
$$
\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}(-1/n,1/n).
\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n = \{0\}.
$$
Passo 4
Falta verificar que {0} não é aberto em ℝ. Pela definição, se {0} fosse aberto existiria ε>0 tal que
Mas qualquer intervalo (−ε,ε) contém pontos diferentes de zero, logo não pode ficar contido em {0}. Portanto, {0} não é aberto.
Passo 5
Concluímos que a interseção infinita dos abertos U_n resultou em {0}, que não é aberto. Isso mostra que interseção de vários (infinitos) conjuntos abertos não precisa ser aberta.
Resposta
O exemplo dos intervalos U_n = (−1/n,1/n) para n≥1 ilustra que
, e como {0} não é aberto em ℝ, isso prova a afirmação.