Mostre que o intervalo aberto (0,1) é um conjunto aberto.

Passo 1

Então, a gente precisa mostrar que o intervalo aberto (0,1) é um conjunto aberto. Isso está ligado ao estudo de Topologia, mais especificamente sobre conjuntos abertos. Para resolver isso, vamos usar a definição de conjunto aberto no espaço dos números reais e verificar se o intervalo (0,1) atende a essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Em termos simples, um conjunto aberto no conjunto dos números reais é aquele em que, para qualquer ponto dentro dele, sempre dá para encontrar um tempinho ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto.

Passo 3

No caso do intervalo (0,1), a gente quer ver se, para qualquer número x que esteja entre 0 e 1, dá para encontrar um intervalo pequeno ao redor de x que não sai fora do (0,1). Esse intervalo pequeno é chamado de “vizinhança” de x.

Passo 4

Para fazer isso, vamos escolher um ponto qualquer x no intervalo (0,1). Como x está entre 0 e 1, a gente pode escolher um número epsilon positivo bem pequenininho, de modo que o intervalo (x - epsilon, x + epsilon) fique completamente dentro de (0,1). Por exemplo, epsilon pode ser a menor distância entre x e os limites 0 ou 1.

Passo 5

Dessa forma, para qualquer x no intervalo (0,1), existe um epsilon > 0 tal que o intervalo (x - epsilon, x + epsilon) está totalmente dentro de (0,1). Isso confirma que todo ponto em (0,1) tem uma vizinhança que também está dentro do intervalo.

Resposta

Portanto, o intervalo aberto (0,1) é de fato um conjunto aberto.

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