Mostre que o intervalo aberto
é um conjunto aberto.
Passo 1
Então, a gente precisa mostrar que o intervalo aberto
é um conjunto aberto. Isso está ligado ao estudo de Topologia, mais especificamente sobre conjuntos abertos. Para resolver isso, vamos usar a definição de conjunto aberto no espaço dos números reais e verificar se o intervalo
atende a essa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Em termos simples, um conjunto aberto no conjunto dos números reais é aquele em que, para qualquer ponto dentro dele, sempre dá para encontrar um tempinho ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto.
Passo 3
No caso do intervalo
, a gente quer ver se, para qualquer número
que esteja entre 0 e 1, dá para encontrar um intervalo pequeno ao redor de
que não sai fora do
. Esse intervalo pequeno é chamado de “vizinhança” de
.
Passo 4
Para fazer isso, vamos escolher um ponto qualquer
no intervalo
. Como
está entre 0 e 1, a gente pode escolher um número
positivo bem pequenininho, de modo que o intervalo
fique completamente dentro de
. Por exemplo,
pode ser a menor distância entre
e os limites 0 ou 1.
Passo 5
Dessa forma, para qualquer
no intervalo
, existe um
tal que o intervalo
está totalmente dentro de
. Isso confirma que todo ponto em
tem uma vizinhança que também está dentro do intervalo.
Resposta
Portanto, o intervalo aberto
é de fato um conjunto aberto.