Mostre que se
é um conjunto finito, então
é aberto. Mostre com cálculos
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, se $ C $ é um conjunto finito, então $ \mathbb{R} \setminus C $ é um conjunto aberto. Para isso, vamos utilizar conceitos de topologia na reta real, como conjuntos abertos e vizinhanças. Precisaremos entender o que significa um conjunto ser aberto e como isso se aplica ao complementar de um conjunto finito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto na reta real $ \mathbb{R} $. Um conjunto $ U \subseteq \mathbb{R} $ é aberto se, para todo ponto $ x $ em $ U $, existe um intervalo ao redor de $ x $ que está completamente contido em $ U $. Esse intervalo é chamado de vizinhança de $ x $.
Passo 3
Agora, consideremos $ C $ como um conjunto finito de números reais. Isso significa que $ C $ contém um número limitado de pontos, digamos $ C = {c_1, c_2, ···, c_n} $.
Passo 4
Queremos analisar o conjunto $ \mathbb{R} \setminus C $, que é o complemento de $ C $ na reta real. Ou seja, $ \mathbb{R} \setminus C $ contém todos os números reais que não estão em $ C $.
Passo 5
Para provar que $ \mathbb{R} \setminus C $ é aberto, vamos tomar um ponto arbitrário $ x $ em $ \mathbb{R} \setminus C $. Como $ x $ não está em $ C $ e $ C $ é finito, podemos encontrar uma distância mínima $ d $ entre $ x $ e os pontos de $ C $. Essa distância é positiva porque há apenas um número finito de pontos em $ C $.
Passo 6
Com essa distância $ d $, podemos construir um intervalo $ (x - \frac{d}{2}, x + \frac{d}{2}) $ que está completamente dentro de $ \mathbb{R} \setminus C $. Isso ocorre porque o intervalo não inclui nenhum dos pontos de $ C $, já que $ d $ é a distância mínima para esses pontos.
Passo 7
Como para todo ponto $ x $ em $ \mathbb{R} \setminus C $ existe uma vizinhança aberta totalmente contida em $ \mathbb{R} \setminus C $, concluímos que $ \mathbb{R} \setminus C $ é um conjunto aberto.
Resposta
Portanto, $ \mathbb{R} \setminus C $ é um conjunto aberto quando $ C $ é um conjunto finito.