Mostre que se C é um conjunto finito, então R backslash C é aberto. Mostre com cálculos

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, se $ C $ é um conjunto finito, então $ \mathbb{R} \setminus C $ é um conjunto aberto. Para isso, vamos utilizar conceitos de topologia na reta real, como conjuntos abertos e vizinhanças. Precisaremos entender o que significa um conjunto ser aberto e como isso se aplica ao complementar de um conjunto finito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto na reta real $ \mathbb{R} $. Um conjunto $ U \subseteq \mathbb{R} $ é aberto se, para todo ponto $ x $ em $ U $, existe um intervalo ao redor de $ x $ que está completamente contido em $ U $. Esse intervalo é chamado de vizinhança de $ x $.

Passo 3

Agora, consideremos $ C $ como um conjunto finito de números reais. Isso significa que $ C $ contém um número limitado de pontos, digamos $ C = {c_1, c_2, ···, c_n} $.

Passo 4

Queremos analisar o conjunto $ \mathbb{R} \setminus C $, que é o complemento de $ C $ na reta real. Ou seja, $ \mathbb{R} \setminus C $ contém todos os números reais que não estão em $ C $.

Passo 5

Para provar que $ \mathbb{R} \setminus C $ é aberto, vamos tomar um ponto arbitrário $ x $ em $ \mathbb{R} \setminus C $. Como $ x $ não está em $ C $ e $ C $ é finito, podemos encontrar uma distância mínima $ d $ entre $ x $ e os pontos de $ C $. Essa distância é positiva porque há apenas um número finito de pontos em $ C $.

Passo 6

Com essa distância $ d $, podemos construir um intervalo $ (x - \frac{d}{2}, x + \frac{d}{2}) $ que está completamente dentro de $ \mathbb{R} \setminus C $. Isso ocorre porque o intervalo não inclui nenhum dos pontos de $ C $, já que $ d $ é a distância mínima para esses pontos.

Passo 7

Como para todo ponto $ x $ em $ \mathbb{R} \setminus C $ existe uma vizinhança aberta totalmente contida em $ \mathbb{R} \setminus C $, concluímos que $ \mathbb{R} \setminus C $ é um conjunto aberto.

Resposta

Portanto, $ \mathbb{R} \setminus C $ é um conjunto aberto quando $ C $ é um conjunto finito.

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