Mostre que se c: R R^2 tem curvatura constante não nula igual a kappa, então o seu traço está contido numa circunferência de raio 1 / kappa. (Sugestão: mostre que a função t mapsto c(t)+(1 / kappa) N(t) é constante.)

Passo 1

O enunciado diz respeito a curvas planas de curvatura constante não nula. Precisamos usar as fórmulas de Frenet para curvas regulares em T(t) (isto é, as relações entre o vetor tangente $T(t)$, o normal principal $N(t)$ e a curvatura $\kappa$) para mostrar que o mapa N(t) é constante.

Passo 2

Definimos c'(t)=T(t) Vamos calcular sua derivada. Pela definição de curva parametrizada por comprimento de arco temos $c’(t)=T(t)$. Além disso, pela segunda fórmula de Frenet em $\mathbb{R}^2$ se $\kappa$ é constante, então $N’(t)=-\kappa T(t).$ Logo
R^2
Como $F’(t)=0$ para todo $t$, $F$ é constante. Seja $C=F(t)$ esse valor fixo no plano.

Passo 3

Agora, para qualquer $t$ temos
t
pois $N(t)$ é um vetor unitário. Assim todos os pontos $c(t)$ estão a uma distância constante $1/\kappa$ do ponto $C$.

Resposta

O traço de $c$ está contido na circunferência de centro $C=c(t)+\tfrac{1}{\kappa}N(t)$ e raio $1/\kappa$.

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