Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x>0 para os quais a série converge:
4) 1+x^22+x^43+ldots=sumk=0^infty x^2 kk+1

Passo 1

O enunciado apresenta a série sumk=0^inftyx^2kk+1 e pede os valores de x>0 para os quais ela converge. O conteúdo é análise de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da raiz.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, definimos ak=x^2kk+1. Calculamos
limktoinftyraiz[k]|ak|=limktoinftyraiz[k]x^2kk+1=limktoinfty|x|^2(k+1)^1/k=|x|^2cdot1=|x|^2
Pelo teste da raiz, a série converge se |x|^2<1, ou seja, se |x|<1.

Passo 3

Falta verificar o caso de fronteira x=1. Nesse ponto a série fica
sumk=0^infty1^2kk+1=sumk=0^infty1k+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge.

Passo 4

Como consideramos x>0, a convergência acontece para 0.

Resposta

A série converge para 0.

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