Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y) no ponto dado. Além disso, calcule \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} em termos de x, y, z :
x^{2} y^{2} z^{2}=1 \mathrm{em}(0,0,1).

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y^{2}z^{2}=1
e pede duas coisas no ponto (0,0,1):
  • mostrar que a equação define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x,y) no ponto dado;
  • calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} em termos de x,y,z.
As informações relevantes que temos explicitamente são:
  • a expressão algébrica \;x^{2}y^{2}z^{2}=1\;;
  • o ponto sobre o qual se quer a existência/derivação: (x,y,z)=(0,0,1).

Passo 2

Primeiro checar se o ponto indicado realmente satisfaz a equação, porque para que exista uma função z=z(x,y) definida implicitamente passando por (0,0,1) é necessário que esse ponto pertença ao conjunto definido pela equação.
Calculemos o lado esquerdo em (0,0,1):
0^{2}\cdot 0^{2}\cdot 1^{2}=0.
Comparando com o lado direito:
0 \neq 1.
Portanto, o ponto (0,0,1) NÃO satisfaz a equação \;x^{2}y^{2}z^{2}=1\;.

Passo 3

Conseqüência lógica imediata: se um ponto não está na superfície/curva definida por uma equação F(x,y,z)=0, não faz sentido falar que ali a equação “define implicitamente” uma função z=z(x,y) que passe por esse ponto — porque a função implicaria que o ponto pertence ao gráfico da solução. Ou seja, um requisito básico de existência local de uma função implícita que passe por um ponto é que esse ponto satisfaça a equação.
Portanto, com os dados fornecidos, a afirmação de existência de uma função implícita diferenciável em (0,0,1) já falha no primeiro passo: o ponto não está na variedade dada.

Passo 4

Para aprender o que se deveria verificar num caso correto, aqui vai uma explicação didática do procedimento padrão (útil para a prova):
Defina
F(x,y,z)=x^{2}y^{2}z^{2}-1.
Para que a equação F(x,y,z)=0 defina localmente uma função diferenciável z=z(x,y) passando por um ponto (x_{0},y_{0},z_{0}), é necessário (mínimo) que:
  1. F(x_{0},y_{0},z_{0})=0 (o ponto pertence à superfície);
  2. a derivada parcial \dfrac{\partial F}{\partial z}(x_{0},y_{0},z_{0}) seja diferente de zero (esta é a condição clássica que garante, via o Teorema da Função Implícita, a existência e diferenciabilidade local de z como função de x,y).
Se essas duas condições se cumprem, então existe um entorno de (x_{0},y_{0}) em que existe uma única função diferenciável z=z(x,y) tal que F(x,y,z(x,y))=0, e as derivadas parciais dessa função são dadas por
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z},
avaliadas em (x,y,z(x,y)). Aqui F_x,F_y,F_z são as derivadas parciais de F em relação a x,y,z, respectivamente.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais gerais de F (isso é útil para a fórmula acima, caso o ponto fosse válido):
F(x,y,z)=x^{2}y^{2}z^{2}-1,
logo
F_x=\frac{\partial F}{\partial x}=2x\,y^{2}z^{2},
F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=2x^{2}y\,z^{2},
F_z=\frac{\partial F}{\partial z}=2x^{2}y^{2}z.

Passo 6

Agora avaliar essas quantidades no ponto dado (0,0,1) apenas para ver o que ocorreria:
F(0,0,1)=0-1=-1\quad(\text{já vimos isso}),á
F_x(0,0,1)=2\cdot 0\cdot 0^{2}\cdot 1^{2}=0,
F_y(0,0,1)=0,
F_z(0,0,1)=2\cdot 0^{2}\cdot 0^{2}\cdot 1=0.
Mas o ponto falha já na condição essencial F(0,0,1)=0. Além disso, mesmo que fosse um ponto sobre a superfície, aqui teríamos F_z(0,0,1)=0, o que impediria aplicar diretamente a fórmula \dfrac{\partial z}{\partial x}=-F_x/F_z (porque dividir por zero não vale).

Passo 7

Conclusão clara e direta (sem rodeios): com a equação exatamente como foi escrita, \;x^{2}y^{2}z^{2}=1\;, o ponto (0,0,1) não pertence à superfície definida por essa equação. Logo NÃO existe uma função z=z(x,y) definida implicitamente pela equação que passe por (0,0,1). Portanto não há como garantir (nem calcular) \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} naquele ponto porque a hipótese básica (o ponto estar na superfície) não é satisfeita.
Se o enunciado pretendia outro sinal ou sinais (por exemplo a equação mais comum \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\; com o ponto (0,0,1)), aí sim o procedimento acima se aplica: verificar F=0, checar F_z\neq0, e usar
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.
Mas isso é outra equação diferente da que está escrita.

Resposta

A equação \;x^{2}y^{2}z^{2}=1\; NÃO é satisfeita em (0,0,1) (pois 0\neq1); portanto não existe função implícita z=z(x,y) passando por (0,0,1) e, consequentemente, não há como calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} naquele ponto.

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