Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
no ponto dado. Além disso, calcule
e
em termos de
:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas no ponto
:
- mostrar que a equação define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
no ponto dado; - calcular
e em termos de .
As informações relevantes que temos explicitamente são:
- a expressão algébrica
; - o ponto sobre o qual se quer a existência/derivação:
.
Passo 2
Primeiro checar se o ponto indicado realmente satisfaz a equação, porque para que exista uma função
definida implicitamente passando por
é necessário que esse ponto pertença ao conjunto definido pela equação.
Calculemos o lado esquerdo em
:
Comparando com o lado direito:
Portanto, o ponto
NÃO satisfaz a equação
.
Passo 3
Conseqüência lógica imediata: se um ponto não está na superfície/curva definida por uma equação
, não faz sentido falar que ali a equação “define implicitamente” uma função
que passe por esse ponto — porque a função implicaria que o ponto pertence ao gráfico da solução. Ou seja, um requisito básico de existência local de uma função implícita que passe por um ponto é que esse ponto satisfaça a equação.
Portanto, com os dados fornecidos, a afirmação de existência de uma função implícita diferenciável em
já falha no primeiro passo: o ponto não está na variedade dada.
Passo 4
Para aprender o que se deveria verificar num caso correto, aqui vai uma explicação didática do procedimento padrão (útil para a prova):
Defina
Para que a equação
defina localmente uma função diferenciável
passando por um ponto
, é necessário (mínimo) que:
-
(o ponto pertence à superfície); - a derivada parcial
seja diferente de zero (esta é a condição clássica que garante, via o Teorema da Função Implícita, a existência e diferenciabilidade local de como função de ).
Se essas duas condições se cumprem, então existe um entorno de
em que existe uma única função diferenciável
tal que
, e as derivadas parciais dessa função são dadas por
avaliadas em
. Aqui
são as derivadas parciais de
em relação a
, respectivamente.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais gerais de
(isso é útil para a fórmula acima, caso o ponto fosse válido):
logo
Passo 6
Agora avaliar essas quantidades no ponto dado
apenas para ver o que ocorreria:
Mas o ponto falha já na condição essencial
. Além disso, mesmo que fosse um ponto sobre a superfície, aqui teríamos
, o que impediria aplicar diretamente a fórmula
(porque dividir por zero não vale).
Passo 7
Conclusão clara e direta (sem rodeios): com a equação exatamente como foi escrita,
, o ponto
não pertence à superfície definida por essa equação. Logo NÃO existe uma função
definida implicitamente pela equação que passe por
. Portanto não há como garantir (nem calcular)
e
naquele ponto porque a hipótese básica (o ponto estar na superfície) não é satisfeita.
Se o enunciado pretendia outro sinal ou sinais (por exemplo a equação mais comum
com o ponto
), aí sim o procedimento acima se aplica: verificar
, checar
, e usar
Mas isso é outra equação diferente da que está escrita.
Resposta
A equação
NÃO é satisfeita em
(pois
); portanto não existe função implícita
passando por
e, consequentemente, não há como calcular
e
naquele ponto.