p. Suponha que f seja uma função diferenciável tal que w=f(x, y, z). Seja x=r \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta, y=r \operatorname{sen} \varphi \cos \theta e z=r \cos \varphi, com r>0. Calcule \frac{\partial w}{\partial r}, \frac{\partial w}{\partial \varphi} e \frac{\partial w}{\partial \theta} em função de \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y}, \frac{\partial w}{\partial z}.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável w=f(x,y,z) e a transformação das coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas (comumente usadas):
x = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad y = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
com r>0.
O que se pede: calcular \dfrac{\partial w}{\partial r}, \dfrac{\partial w}{\partial \varphi} e \dfrac{\partial w}{\partial \theta} em função de \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y} e \dfrac{\partial w}{\partial z}.
Informações relevantes que temos:
  • w depende de (x,y,z) e estes dependem de (r,\varphi,\theta).
  • As expressões de x,y,z em termos de r,\varphi,\theta estão acima.
  • As derivadas pedidas são derivadas parciais de w em relação às novas variáveis r,\varphi,\theta, mantendo as outras constantes em cada caso.

Passo 2

Regra que vamos usar (cadeia para funções compostas): se w=f(x,y,z) e x,x(r,\varphi,\theta),\;y=y(r,\varphi,\theta),\;z=z(r,\varphi,\theta), então
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u},
onde u é qualquer uma das variáveis r,\varphi,\theta.
Explicando devagar: \dfrac{\partial w}{\partial x} significa como w muda se mexer só em x (fixando y,z); \dfrac{\partial x}{\partial u} é como x muda ao variar u (fixando as outras). A soma pondera todas as vias pelas quais u afeta w.

Passo 3

Vamos calcular primeiro as derivadas parciais de x,y,z em relação a r. Lembre-se: \varphi e \theta são tratadas como constantes ao derivar por r.
  • Para x = r\sin\varphi\sin\theta,
\frac{\partial x}{\partial r} = \sin\varphi\sin\theta.
  • Para y = r\sin\varphi\cos\theta,
\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\varphi\cos\theta.
  • Para z = r\cos\varphi,
\frac{\partial z}{\partial r} = \cos\varphi.
(Estas derivadas são diretas: derivada de r é 1, multiplicada pelos fatores trigonométricos.)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para u=r:
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r}.
Substituindo as derivadas obtidas:
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial x}\sin\varphi\sin\theta + \frac{\partial w}{\partial y}\sin\varphi\cos\theta + \frac{\partial w}{\partial z}\cos\varphi.

Passo 5

Agora calculamos as derivadas parciais de x,y,z em relação a \varphi. Aqui r e \theta são constantes.
  • Para x = r\sin\varphi\sin\theta,
\frac{\partial x}{\partial \varphi} = r\cos\varphi\sin\theta,
porque \dfrac{d}{d\varphi}\sin\varphi=\cos\varphi e o r\sin\theta é constante.
  • Para y = r\sin\varphi\cos\theta,
\frac{\partial y}{\partial \varphi} = r\cos\varphi\cos\theta.
  • Para z = r\cos\varphi,
\frac{\partial z}{\partial \varphi} = -r\sin\varphi.
(Novamente derivadas trigonométricas padrão.)

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para u=\varphi:
\frac{\partial w}{\partial \varphi} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varphi} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \varphi} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \varphi}.
Substituindo:
\frac{\partial w}{\partial \varphi} = \frac{\partial w}{\partial x}\,r\cos\varphi\sin\theta + \frac{\partial w}{\partial y}\,r\cos\varphi\cos\theta + \frac{\partial w}{\partial z}\,(-r\sin\varphi).
Podemos fatorar r:
\frac{\partial w}{\partial \varphi} = r\!\left(\frac{\partial w}{\partial x}\cos\varphi\sin\theta + \frac{\partial w}{\partial y}\cos\varphi\cos\theta - \frac{\partial w}{\partial z}\sin\varphi\right).

Passo 7

Finalmente, derivadas parciais de x,y,z em relação a \theta. Aqui r e \varphi são constantes.
  • Para x = r\sin\varphi\sin\theta,
\frac{\partial x}{\partial \theta} = r\sin\varphi\cos\theta,
pois \dfrac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta.
  • Para y = r\sin\varphi\cos\theta,
\frac{\partial y}{\partial \theta} = -r\sin\varphi\sin\theta,
pois \dfrac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta.
  • Para z = r\cos\varphi,
\frac{\partial z}{\partial \theta} = 0,
pois z não depende de \theta.

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia para u=\theta:
\frac{\partial w}{\partial \theta} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \theta}.
Substituindo:
\frac{\partial w}{\partial \theta} = \frac{\partial w}{\partial x}\,r\sin\varphi\cos\theta + \frac{\partial w}{\partial y}\,(-r\sin\varphi\sin\theta) + \frac{\partial w}{\partial z}\cdot 0.
Fatorando r\sin\varphi:
\frac{\partial w}{\partial \theta} = r\sin\varphi\!\left(\frac{\partial w}{\partial x}\cos\theta - \frac{\partial w}{\partial y}\sin\theta\right).

Resposta

\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial x}\sin\varphi\sin\theta + \frac{\partial w}{\partial y}\sin\varphi\cos\theta + \frac{\partial w}{\partial z}\cos\varphi
\frac{\partial w}{\partial \varphi} = r\!\left(\frac{\partial w}{\partial x}\cos\varphi\sin\theta + \frac{\partial w}{\partial y}\cos\varphi\cos\theta - \frac{\partial w}{\partial z}\sin\varphi\right)
\frac{\partial w}{\partial \theta} = r\sin\varphi\!\left(\frac{\partial w}{\partial x}\cos\theta - \frac{\partial w}{\partial y}\sin\theta\right)

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