p. Suponha que
seja uma função diferenciável tal que
. Seja
,
e
, com
. Calcule
e
em função de
.
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável
e a transformação das coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas (comumente usadas):
com
.
O que se pede: calcular ,
e
em função de
,
e
.
O que se pede: calcular
Informações relevantes que temos:
-
depende de e estes dependem de . - As expressões de
em termos de estão acima. - As derivadas pedidas são derivadas parciais de
em relação às novas variáveis , mantendo as outras constantes em cada caso.
Passo 2
Regra que vamos usar (cadeia para funções compostas): se
e
, então
onde
é qualquer uma das variáveis
.
Explicando devagar: significa como
muda se mexer só em
(fixando
);
é como
muda ao variar
(fixando as outras). A soma pondera todas as vias pelas quais
afeta
.
Explicando devagar:
Passo 3
Vamos calcular primeiro as derivadas parciais de
em relação a
. Lembre-se:
e
são tratadas como constantes ao derivar por
.
- Para
,
- Para
,
- Para
,
(Estas derivadas são diretas: derivada de
é
, multiplicada pelos fatores trigonométricos.)
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo as derivadas obtidas:
Passo 5
Agora calculamos as derivadas parciais de
em relação a
. Aqui
e
são constantes.
- Para
,
porque
e o
é constante.
- Para
,
- Para
,
(Novamente derivadas trigonométricas padrão.)
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Finalmente, derivadas parciais de
em relação a
. Aqui
e
são constantes.
- Para
,
pois
.
- Para
,
pois
.
- Para
,
pois
não depende de
.
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo:
Fatorando
: