- Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado:
(a)
em
;
(H)
em
.
(a)
(H)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, separando as duas partes.
-
Parte (a):
- Função:
. - Ponto dado:
. - O enunciado pede:
- a equação do plano tangente à superfície
no ponto dado; - a equação da reta normal à superfície no mesmo ponto.
- a equação do plano tangente à superfície
- Função:
-
Parte (H):
- Função:
. - Ponto dado:
. - O enunciado pede:
- a equação do plano tangente à superfície
no ponto dado; - a equação da reta normal à superfície no mesmo ponto.
- a equação do plano tangente à superfície
- Função:
Informações que temos (sem calcular z ainda): os pares
e
. Nas duas partes vamos precisar de
e das derivadas parciais
e
avaliadas em cada ponto.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que usarei (rápida aula):
- A derivada parcial
é a inclinação da superfície na direção do eixo quando se mantém fixo em . Analogamente para . - A equação do plano tangente à superfície
no ponto é
Aqui
. Essa fórmula vem da aproximação linear (primeira ordem) de
perto do ponto.
- Uma normal ao plano tangente (vetor normal à superfície) é dado por
pois a superfície pode ser escrita como
e
.
- A reta normal no ponto
tem equação paramétrica
ou em coordenadas
Agora aplico isso a cada parte, calculando primeiro
e as derivadas parciais.
Passo 3
Parte (a): calcular
e as derivadas parciais.
- Primeiro calculemos
.
-
Derivadas parciais:
. Vou derivar usando a regra do produto e a derivada de raiz quadrada. - Regra do produto: se
então . - Aqui
e . - Primeiro
. - Para
, aplicando a regra da cadeia: - Assim
- Agora
: derivando em relação a (tratando como constante),
- Regra do produto: se
-
Agora avaliar no ponto
(onde ):
Passo 4
Parte (a): equação do plano tangente e reta normal.
- Plano tangente usando a fórmula
Substituindo
,
,
,
e
, obtemos
Se desejar uma forma sem frações, multiplica-se por
:
- Reta normal: o vetor normal é
Multiplicando por
para eliminar denominadores, um vetor diretor equivalente é
. A reta normal passando por
tem equações paramétricas
Passo 5
Parte (H): calcular
e as derivadas parciais.
- Primeiro
:
- Derivadas parciais de
. - Usamos a regra da cadeia: se
então
- Usamos a regra da cadeia: se
-
Assim
-
Avaliando em
(onde ):
Passo 6
Parte (H): equação do plano tangente e reta normal.
- Plano tangente:
Substituindo
,
,
, obtemos
Forma sem frações (multiplicando por
):
- Reta normal:
- Vetor normal
Multiplicando por para ficar inteiro, vetor diretor equivalente é . - A reta normal passando por
tem equações paramétricas
- Vetor normal
Resposta
(a) Plano tangente:
. Reta normal:
(H) Plano tangente:
. Reta normal: