• Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado:
    (a) f(x, y)=x \sqrt{x^{2}+y^{2}} em (3,-4, f(3,-4));
    (H) f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} em (-1,2, f(-1,2)).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, separando as duas partes.
  • Parte (a):
    • Função: f(x,y)=x\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
    • Ponto dado: (3,-4,f(3,-4)).
    • O enunciado pede:
      1. a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto dado;
      2. a equação da reta normal à superfície no mesmo ponto.
  • Parte (H):
    • Função: f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.
    • Ponto dado: (-1,2,f(-1,2)).
    • O enunciado pede:
      1. a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto dado;
      2. a equação da reta normal à superfície no mesmo ponto.
Informações que temos (sem calcular z ainda): os pares (x_{0},y_{0})=(3,-4) e (x_{0},y_{0})=(-1,2). Nas duas partes vamos precisar de z_{0}=f(x_{0},y_{0}) e das derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y avaliadas em cada ponto.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usarei (rápida aula):
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) é a inclinação da superfície na direção do eixo x quando se mantém y fixo em y_{0}. Analogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • A equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é
z-z_{0}=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).
Aqui z_{0}=f(x_{0},y_{0}). Essa fórmula vem da aproximação linear (primeira ordem) de f perto do ponto.
  • Uma normal ao plano tangente (vetor normal à superfície) é dado por
\mathbf{n}=(-\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}),\; -\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}),\; 1),
pois a superfície pode ser escrita como F(x,y,z)=z-f(x,y)=0 e \nabla F=(-f_x,-f_y,1).
  • A reta normal no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) tem equação paramétrica
(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t\mathbf{n},
ou em coordenadas
x=x_{0}+t n_{x},\qquad y=y_{0}+t n_{y},\qquad z=z_{0}+t n_{z}.
Agora aplico isso a cada parte, calculando primeiro z_{0} e as derivadas parciais.

Passo 3

Parte (a): calcular z_{0} e as derivadas parciais.
  • Primeiro calculemos z_{0}=f(3,-4).
z_{0}=f(3,-4)=3\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=3\sqrt{9+16}=3\sqrt{25}=3\cdot 5=15.
  • Derivadas parciais: f(x,y)=x\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Vou derivar usando a regra do produto e a derivada de raiz quadrada.
    • Regra do produto: se f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então \dfrac{\partial f}{\partial x}=u_{x}v+u v_{x}.
    • Aqui u(x,y)=x e v(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
    • Primeiro u_{x}=1.
    • Para v_{x}, aplicando a regra da cadeia: v_{x}=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
    • Assim \dfrac{\partial f}{\partial x}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\dfrac{x^{2}+y^{2}+x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\dfrac{2x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
    • Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}: derivando f=x\sqrt{x^{2}+y^{2}} em relação a y (tratando x como constante), \dfrac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y =\dfrac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Agora avaliar no ponto (3,-4) (onde \sqrt{x^{2}+y^{2}}=5):
    \dfrac{\partial f}{\partial x}(3,-4)=\dfrac{2\cdot 3^{2}+(-4)^{2}}{5}=\dfrac{18+16}{5}=\dfrac{34}{5},
\dfrac{\partial f}{\partial y}(3,-4)=\dfrac{3\cdot(-4)}{5}=\dfrac{-12}{5}.

Passo 4

Parte (a): equação do plano tangente e reta normal.
  • Plano tangente usando a fórmula
z- z_{0}=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).
Substituindo x_{0}=3, y_{0}=-4, z_{0}=15, \dfrac{\partial f}{\partial x}(3,-4)=\dfrac{34}{5} e \dfrac{\partial f}{\partial y}(3,-4)=\dfrac{-12}{5}, obtemos
z-15=\dfrac{34}{5}(x-3)-\dfrac{12}{5}(y+4).
Se desejar uma forma sem frações, multiplica-se por 5:
34x-12y-5z-75=0.
  • Reta normal: o vetor normal é
\mathbf{n}=(-f_{x},-f_{y},1)=\Big(-\dfrac{34}{5},\;\dfrac{12}{5},\;1\Big).
Multiplicando por 5 para eliminar denominadores, um vetor diretor equivalente é (-34,12,5). A reta normal passando por (3,-4,15) tem equações paramétricas
x=3-34t,\qquad y=-4+12t,\qquad z=15+5t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Parte (H): calcular z_{0} e as derivadas parciais.
  • Primeiro z_{0}=f(-1,2):
z_{0}=f(-1,2)=\sqrt{9-(-1)^{2}-2^{2}}=\sqrt{9-1-4}=\sqrt{4}=2.
  • Derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}=(9-x^{2}-y^{2})^{1/2}.
    • Usamos a regra da cadeia: se v(x,y)=(9-x^{2}-y^{2})^{1/2} então v_{x}=\dfrac{1}{2}(9-x^{2}-y^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}.
v_{y}=-\dfrac{y}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}.
  • Assim
    \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\dfrac{x}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}},\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\dfrac{y}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}.
  • Avaliando em (-1,2) (onde \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}=2):
    \dfrac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=-\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{2},\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=-\dfrac{2}{2}=-1.

Passo 6

Parte (H): equação do plano tangente e reta normal.
  • Plano tangente:
z-z_{0}=\dfrac{\partial f}{\partial x}(-1,2)(x+1)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(-1,2)(y-2).
Substituindo z_{0}=2, \dfrac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=\dfrac{1}{2}, \dfrac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=-1, obtemos
z-2=\dfrac{1}{2}(x+1)-(y-2).
Forma sem frações (multiplicando por 2):
x-2y-2z+9=0.
  • Reta normal:
    • Vetor normal \mathbf{n}=(-f_{x},-f_{y},1)=\Big(-\dfrac{1}{2},\;1,\;1\Big).Multiplicando por 2 para ficar inteiro, vetor diretor equivalente é (-1,2,2).
    • A reta normal passando por (-1,2,2) tem equações paramétricas x=-1-t,\qquad y=2+2t,\qquad z=2+2t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) Plano tangente: z-15=\dfrac{34}{5}(x-3)-\dfrac{12}{5}(y+4). Reta normal: x=3-34t,\;y=-4+12t,\;z=15+5t.
(H) Plano tangente: z-2=\dfrac{1}{2}(x+1)-(y-2). Reta normal: x=-1-t,\;y=2+2t,\;z=2+2t.

Exercícios relacionados